Преподаватель: Д.А.Тимашёв

Занятия проходят на 2-й паре (10:45-12:20) по понедельникам на каждой чётной неделе в ауд. 12-13 и по четвергам еженедельно в ауд. 12-07.

Объявления:

• Коллоквиум по алгебре пройдёт на семинаре в понедельник 2 ноября.
• Контрольная работа по алгебре пройдёт на семинаре в четверг 5 ноября.

Нумерация задач даётся по «Сборнику задач по алгебре» под ред. А.И.Кострикина, новое изд., Москва, МЦНМО, 2009. Дополнительные задачи помечены знаком ★.

Системы линейных уравнений (СЛУ). Метод Крамера решения квадратных СЛУ малых размеров ($2\times2$ и $3\times3$). Определители 2-го и 3-го порядка.

• 8.6вд, 8.2е, 9.1гд, 9.2ж, 16.1б;
• решить методом Крамера систему линейных уравнений:
• 

Элементарные преобразования СЛУ и их матриц. Метод Гаусса решения СЛУ.

• 8.1вге, 8.2вгж.

Связь решений совместной СЛУ и ассоциированной однородной системы линейных уравнений (ОСЛУ). Критерий определённости совместной СЛУ и квадратной СЛУ: ассоциированная ОСЛУ должна быть определена. Задача интерполяции, теорема о полиномиальной интерполяции. Арифметическое векторное пространство $\mathbb{R}^n$. Линейная зависимость векторов.

• 8.8, 6.3де, 6.4, 6.7вд;
• найти явную формулу для интерполяционного многочлена.

Свойства линейной зависимости. Базис системы векторов. Когда система векторов обладает единственным базисом? Основная лемма о линейной зависимости. Ранг системы векторов. Координаты вектора в базисе. Стандартный базис в $\mathbb{R}^n$. Алгоритм нахождения базиса конечной системы векторов в $\mathbb{R}^n$.

• 6.6, 6.9абд, 6.12вги, 6.13, 6.14, 7.19★
• доказать, что для подсистемы векторов $B\subseteq S$ следующие условия эквивалентны:
  1. $B$ — максимальная (по включению) линейно независимая подсистема в $S$;
  2. $B$ линейно независима и линейно порождает систему $S$;
  3. $B$ — минимальная (по включению) порождающая подсистема в $S$.

Ранг матрицы, его свойства и вычисление. Подпространства в векторном пространстве, размерность. Пространство решений ОСЛУ, фундаментальная система решений, её нахождение.

• 7.1дл, 7.2аз, 7.3, 7.5, 8.4бвг, 8.25★.

Подстановки, их количество. Двухрядная запись подстановок. Умножение подстановок. Циклические подстановки, разложение произвольной подстановки на независимые циклы.

• 3.1вг, 3.2аге, 3.3ав, 3.4аб, 3.13.

Возведение подстановок в степень. Решение уравнений в подстановках. Чётность и знак подстановки. Знак цикла. Задача про «пятнашки»: можно ли, последовательно передвигая фишки на соседнее свободное место, поменять местами фишки 14 и 15, оставив остальные фишки на месте?

• 3.6бвж, 3.11, 3.14, 3.22;
• решить уравнения в подстановках:
  • 
• Можно ли, вращая слои куба Рубика на шарнирах, добиться того, чтобы угловые кубики одной из граней переставились по кругу, а остальные кубики остались на своих местах (возможно, повернувшись)?
• (Задача о квартирном обмене) Несколько семей хотят обменяться квартирами. За один день каждая семья может принять участие не более чем в одном обмене квартирами с какой-нибудь другой семьей. Доказать, что любой сложный обмен можно осуществить не более чем за два дня.

Определители квадратных матриц, их вычисление по развёрнутой формуле. Свойства определителя, его изменение при различных преобразованиях матрицы. Вычисление определителей приведением к треугольному виду.

• 10.4б, 16.2, 11.1гд, 11.4, 13.1бвж.

Вычисление определителей приведением к треугольному виду. Определитель с углом нулей. Определитель Вандермонда. Разложение определителя по строке и столбцу.

• 13.2ежз, 14.1зкм★н, 12.2, 12.3ези.

Трёхдиагональные определители и линейные однородные рекуррентные уравнения 2-го порядка.

• 14.1где, 12.4, 4.2б, 4.5;
• вычислить определитель:
• 

Алгебраические операции над матрицами, их свойства, нулевая матрица. Некоммутативность умножения матриц, делители нуля и нильпотентные матрицы, нильпотентность нильтреугольных матриц. Умножение на диагональные матрицы. Матричные единицы, умножение на них слева и справа. Квадратные матрицы, коммутирующие со всеми матрицами того же размера, скалярны.

• 17.1бв, 17.4ав, 17.13, 17.25, 17.26, 19.4абв, 19.14, 19.15.

Элементарные матрицы, умножение на них слева и справа. Обратная матрица. Решение матричных уравнений вида $AX=B$.

• 19.3абв, 19.4г, 19.21, 18.3взи, 18.4, 18.17★;
• решить матричное уравнение:
• 
• ★ Доказать, что для любой (даже не обязательно квадратной) матрицы A существует квазиобратная матрица, т.е. такая матрица $B$, что $ABA=A$ и $BAB=B$.

Нахождение обратной матрицы. Разложение невырожденной матрицы в произведение элементарных матриц. Определитель произведения матриц.

• 18.9кл, 15.2бв,16.19;
• как изменится $A^{-1}$, если матрицу $A$ подвергнуть одному из следующих преобразований:
  • транспонировать относительно побочной диагонали;
  • повернуть на 90º против часовой стрелки?