Кафедра высшей алгебры

1) А.И. Кострикин. Введение в алгебру.

• Часть I. Основы алгебры.

2) Э.Б. Винберг. Курс алгебры.

(Пока всё над вещественными числами.)

Матрицы, виды матриц (квадратные, диагональные, треугольные, ступенчатого вида…)

Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и их решения. Совместные и несовместные, определённые и неопределённые СЛАУ. Матрица коэффициентов и расширенная матрица системы.

Элементарные преобразования систем линейных уравнений. Их связь с элементарными преобразованиями над строками расширенной матрицы. Элементарное преобразование приводит к эквивалентной СЛАУ.

Метод Гаусса решения СЛАУ, начало: ведущие элементы (лидеры) строк матрицы, приведение к ступенчатому виду.

1) Продолжение: метод Гаусса, решение ступенчатой СЛАУ.

Однородные системы линейных уравнений, их совместность. Однородное СЛАУ с числом уравнений меньше числа неизвестных имеет ненулевое решение.

2) Определение векторного пространства (вещественного). Примеры.

1) Определение векторного пространства (вещественного). Следствия из аксиом. Линейная комбинация векторов. Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов.

2) Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем.

1) Основная лемма о линейной зависимости.

2) Линейная оболочка системы векторов. Определение множества, порождающего векторное пространство.

3) Определение базиса. Свойства. Всякое конечномерное векторное пространство обладает базисом. Все базисы конечномерного векторного пространства содержат одно и то же число векторов. Определение размерности векторного пространства. Примеры. Всякую линейно независимую систему векторов конечномерного векторного пространства можно дополнить до базиса.

4) Определение ранга системы векторов. Определение ранга матрицы как ранга системы ее строк. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях над строками. Ранг матрицы ступенчатого вида равен числу ее ненулевых строк.

Ранг системы столбцов матрицы не меняется при элементарных преобразованиях над строками.

1) Транспонированная матрица. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях над столбцами. Ранг системы строк матрицы равен рангу системы ее столбцов.

2) Критерий совместности (теорема Кронекера-Капелли) и критерий определенности СЛАУ в терминах рангов матриц.

Однородные СЛАУ. Пространство решений однородной СЛАУ и его базис (ФСР). Теорема о размерности пространства решений однородной СЛАУ.

Связь между множествами решений совместной системы линейных уравнений и соответствующей системы однородных линейных уравнений.

1) Линейное отображение. Изоморфизм. Отождествление произвольного n-мерного пространства с R^n.

2) Определение операций над матрицами.

3) Операции над линейными отображениями (сумма, произведение на число).

Операции над линейными отображениями. Операции над матрицами. Свойства.

Ранг суммы матриц.

1) Ранг произведения матриц.

2) Определение перестановки из n элементов. Инверсии и знак перестановки. Изменение четности перестановки при транспозиции. Число перестановок из n элементов. Число четных перестановок равно числу нечетных перестановок.

3) Формула полного разложения определителя. Пример определителя 2-го порядка. Определитель как полилинейная кососимметрическая функция строк матрицы.

Элементарные преобразования над строками определителя. Вычисление определителя посредством приведения к треугольному виду.

Определитель транспонированной матрицы.

К какому виду можно привести матрицу с помощью элементарных преобразований, если определитель матрицы равен нулю (отличен от нуля)? Определитель матрицы с углом нулей.

Элементарные матрицы, их связь с элементарными преобразованиями над строками и столбцами матрицы. Определитель произведения матриц.

Разложение определителя по строке (столбцу).

Фальшивое разложение. Определитель Вандермонда.

Теорема о ранге матрицы. Обоснование метода окаймляющих миноров.

Формулы Крамера.

Обратные матрицы.

Группоид, полугруппа, моноид, группа. Определения. Примеры.

Подстановки

Определение подгруппы. Примеры. Определение изоморфизма групп, примеры.

Определение кольца, ассоциативного кольца, коммутативного кольца, кольца с единицей, обратимых в кольце, делителей нуля, примеры. Определение поля. Определение изоморфизма колец (полей). Простейшие свойства.

Определение подкольца, подполя.

Кольцо вычетов по модулю n. Когда кольцо вычетов является поле ? (ссылка на построение и доказанные утверждения в курсе теории чисел).

Характеристика поля. Свойства.

Перенос теории линейных уравнений, векторов, матриц и определителей с поля R на произвольное поле.

Поле комплексных чисел. Аксиоматическое определение. Теорема существования поля комплексных чисел и единственности с точности до изоморфизма, оставляющего все вещественные числа не месте.

Поле комплексных чисел (продолжение).

Геометрическая интерпретация комплексных чисел как точек или векторов на координатной плоскости. Геометрический смысл операций сложения и вычитания комплексных чисел. Модуль комплексного числа и сопряжённое число, их геометрический смысл, свойства операции сопряжения. Деление комплексных чисел в алгебраической форме.

Аргумент комплексного числа, его главная ветвь. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел, её экспоненциальная версия. Свойства модуля и аргумента комплексного числа, умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме, геометрический смысл этих операций, формула Муавра.

Извлечение корней из комплексных чисел.

Алгебра над полем. Определение. Примеры.

Алгебра многочленов над полем. Свойства степеней. Деление с остатком. Над бесконечным полем разным многочленам соответствуют разные функции.

Корни многочлена. Кратность.

Основная теорема алгебры комплексных чисел (доказательство на следующей лекции). Следствия. Многочлены на полем вещественных чисел. Разложение на множители над полем комплексных и над полем вещественных чисел.

Доказательство основной теоремы алгебры комплексных чисел.

Определение неприводимого многочлена над полем. Неприводимые над полем вещественных чисел и над полем комплексных чисел.

Целостное кольцо. Определение деления элемента на элемент, ассоциированные элементы.

Евклидовы кольца. Алгоритм Евклида. Разложение на простые множители.

Поле отношений. Поле рациональных дробей.

Симметрические многочлены.

На этой лекции планируется рассмотреть следующие темы:

TBA