Две тонкости с переносом ранне доказанных фактов с вещественных чисел на произвольное поле (тонкость с определителем с одинаковыми строчками оставил в качестве упражнения). Характеристика поля — это либо ноль, либо простое число. Поле комплексных чисел: сопряжение, тригонометрическая форма, формула Муавра, извлечение корней. Корни из единицвы начали обсуждать.

Теорема о ранге матрицы (окаймляющие только как упражнение; ещё упражнение: на пересечении k л.н. строк и k л.н. столбцов стоит ненулевой минор, если k — это ранг. Задача интерполяции, определитель Вандермонда, интерполяционная формула Лагранжа. Поля (и кольца). Когда кольцо вычетов является полем?

Критерий равенства определителя нулю. Определитель произведения матриц. Теорема Крамера и формулы Крамера. Теорема о ранге матрицы: про миноры — сформулировал и доказал в одну сторону пока.

Определитель транспонированной матрицы. Определитель с углом нулей. Разложение по строке/столбцу. Фальшивое разложение. Явная формула для обратной матрицы. Когда обратная к целочисленной матрице целочисленна? (Определитель произведения и критерий равенства определителя нулю обещал доказать и начал, но не успел из-за дурацкой тревоги.)

Разложение перестановки в произведение независимых циклов. Чётность цикла. Определитель: явная формула (обсудили примеры, в том числе с побочной диагональю), полилинейность и кососимметричность по строкам, определитель единичной матрицы (то, что эти свойства полностью определяют определитель, оставил в качестве упражнения). Поведение определителя при элементарных преобразованиях строк. Определитель треугольной матрицы. Способ вычисления определителя. Определитель транспонированной матрицы (доказать не успел).

Перестановки (=подстановки). Чётность, знак, умножение, симметрическая группа. Изменение чётности при умножении на транспозицию. Разложение в произведение транспозиций (с оценкой количества, а неулучшаемость этой оценки оставил в качестве упражнения). Чётность произведения. Разложение в произведение независимых циклов (не успели додоказать немного).

Алгоритм нахождения ФСР, и пример разобрали. Связь между решениями СЛУ и ОСЛУ. Умножение матриц. Ассоциативность (и другие свойства). Некоммутативность и делители нуля. СЛУ на матричном языке. Линейные отображения векторных пространств и их матрицы. Матрица композиции. Единичная матрица Ранг произведения (оценка сверху и случай невырожденного сомножителя). Ранг суммы оставил в качестве важного упражнения. Связь между умножением матриц и элементарными преобразованиями. Какие матрицы раскладываются в произведение нескольких элементарных?

16 сентября вместо лекции по алгебре будет лекция по аналитической геометрии, а 30 сентября — наоборот (то есть две лекции по алгебре будет 30 сентября).

Основная лемма о линейной зависимости на языке рангов. Поведение ранга при ЭП строк и столбцов. К какому виду можно привести матрицу ЭП строк и столбцов? (И единственность.) Алгоритм нахождения ранга. Теорема о ранге матрицы (без миноров пока). Теорема Кронекера–Капелли и критерий определённости СЛУ. Множество решений однородной СЛУ — подпространство. (Обратные утверждения оставил в качестве упражнения). Алгоритм нахождения ФСР (не успел доказать).

Основная лемма о линейной зависимости. Базис, ранг, размерность. Все базисы равномощны. Подпространства (эквивалентность трёх условий и короткого определения оставил в качестве важного упражнения). Ранг множества векторов равен размерности его линейной оболочки.

Критерий совместности и определённости на языке ступенчатого вида. Векторные пространства (вещественные): аксиомы, следствия из аксиом (часть оставил в качестве важного упражнения), примеры. Упражнение с большим количеством звёздочек: какие из аксиом вытекают из остальных? Линейная зависимость и независимость: всякие простейшие свойства и примеры. Линейная оболочка, линейные комбинации. Векторы л.з. тогда и только тогда, когда один из них выражается через остальные. Подсистемы л.н. систем.. Основной леммы о л.з. не было пока.

Содержание курса. Учебники (Винберг, Кострикин, Курош). Системы линейных уравнений (всё над полем вещественных чисел пока и вообше понятия поля пока не было). Что значит Решить СЛУ? Эквивалентность СЛУ. Матрица коэффициентов и расширенная матрица. Элементарные преобразования. Эквивалентность СЛУ, расширенные матрицы которых получаются друг из друга ЭП строк. Верно ли обратное утверждение? (Поняли, что вообще говоря нет, но, если система совместна… оставил в качестве упражнения это но.) Ступенчатый вид и улучшенный ступенчатый вид. Упражнение со звёздочкой: улучшенный ступенчатый вид единственный. Метод Гаусса. Обсудили, что всё то же самое верно над полем рациональных чисел. А на целыми… Упражнение: верно ли, что к ступенчатому виду над целыми проиводится любая матрица.

На семинарах рекомендую по традиции (по просьбам геометров) начать с определителей порядка два и три (и один), хотя на лекциях определители нескоро появятся.