Лектор Гордиенко Алексей Сергеевич

1) 04.09.2023. Организационные вопросы. Матрицы, сложение матриц и умножение на число. Декартово произведение множеств. Векторные пространства. Примеры: функции, направленные отрезки, матрицы фиксированного размера.

Упражнение. Вывести аксиомы 4-8 векторного пространства для матриц из свойств вещественных чисел.

Умножение матриц. Символ Кронекера. Единичная матрица.

Упражнение. Пусть A - матрица размера m x n. Обозначим через E_n единичную матрицу размера n x n. Доказать, что A E_n = A.

Некоммутативность умножения матриц.

2) 08.09.2023. Арифметическое векторное пространство R^n.

Упражнение. Из свойств вещественных чисел вывести, что

A(C+D)=AC+AD,

(A+B)C=AC+BC,

(\lambda A) C=A(\lambda C)=\lambda(AC),

где A,B,C,D - матрицы соответствующих размеров, а \lambda - вещественное число.

Перестановочность символов конечного суммирования. Ассоциативность умножения матриц. Метод математической индукции (напоминание). Вывод обобщённой ассоциативности из обычной. Транспонирование матриц.

Упражнение: (A+B)^T = A^T+B^T,

(\alpha A)^T = \alpha A^T,

(AB)^T = B^T A^T.

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений (с.л.у.). Элементарные преобразования. Ступенчатый и улучшенный ступенчатый вид. Лидеры. Главные и свободные неизвестные. Экзотические уравнения. Наличие нетривиального решения у однородной с.л.у., у которой число уравнений больше числа неизвестных.

3) 15.09.2025. Равенство 0v=0. Линейная зависимость и её свойства. Основная лемма о линейной зависимости. Базис системы векторов. Существование базиса у системы, которая выражается через конечное число векторов. Подпространство. Линейная оболочка. Базис и размерность подпространства. Корректность определения. Стандартный базис в R^n. Матричные единицы - базис в пространстве матриц. Умножение матричных единиц.

Литература.

1. Кострикин А.И. Введение в алгебру.
2. Курош А.Г. Курс высшей алгебры.
3. Винберг Э.Б. Курс алгебры.
4. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. (Очень хорошая и интересная книга, можно просто взять и читать, не отрываясь, но терминология достаточно архаичная: например, факторкольцо называется кольцом классов вычетов.)