Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- лекции_1_курс_2_поток_осень_2019 [27.09.2019 12:33]
vinberg
+++ лекции_1_курс_2_поток_осень_2019 [08.04.2025 16:43] (текущий)
@@ Строка 24: / Строка 24: @@
 Векторные пространства. Подпространства. Линейная зависимость. Порождающие системы векторов и базисы.
+-я лекция 02.10.
+Конечномерные векторные пространства, базис и размерность. Описание всех базисов конечномерного векторного пространства. Формула преобразования координат.
+Линейная оболочка и ранг системы векторов. Ранг матрицы как ранг системы ее строк, его сохранение при элементарных преобразованиях строк. Ранг ступенчатой матрицы.
+-я лекция 05.10.
+Теорема о том, что линейные зависимости между столбцами матрицы не меняются при элементарных преобразованиях строк. Совпадение рангов систем строк и столбцов матрицы.
+Критерии совместности и определенности системы линейных уравнений в терминах рангов матриц. Размерность пространства решений системы однородных линейных уравнений. Связь между множествами решений совместной системы линейных уравнений и соответствующей системы однородных линейных уравнений.
+Ранг произведения матриц. Критерий обратимости квадратной матрицы в терминах ее ранга.
+-я лекция 09.10. Перестановки. Четность и знак перестановки, их изменение при транспозиции.
+Определение определителя квадратной матрицы (явной формулой). Теорема о том, что определитель является кососимметрической полилинейной функцией строк матрицы.
+Поведение определителя при элементарных преобразованиях строк матрицы. Определитель треугольной матрицы. Критерий обратимости матрицы в терминах ее определителя.
+-я лекция 12.10. Определитель транспонированной матрицы. Определитель матрицы с углом нулей. Разложение определителя по строке (столбцу). Определитель Вандермонда. Определитель произведения матриц.
+-я лекция 19.10.
+Формулы Крамера. Явный вид обратной матрицы. Теорема о ранге матрицы. Вычисление ранга матрицы методом окаймления миноров.
+Объем параллелепипеда (площадь параллелограмма) как определитель матрицы координат его ребер.
+-я лекция 23.10.
+Отношения эквивалентности, согласованные с операциями на множестве. Факторструктуры алгебраических структур.
+Кольцо Z_n вычетов по модулю n, его делители нуля и обратимые элементы. Выяснение того, когда оно является полем.
+Характеристика поля. Доказательство того, что всякое поле характеристики p>0 содержит подполе, изоморфное Z_p. Формула (a+b)^p=a^p+b^p в поле характеристики p. Малая теорема Ферма.
+-я лекция 26.10.
+Алгебры. Таблица умножения алгебры.
+Формальное построение алгебры многочленов K[x} над произвольным полем K. Совпадение формального и функционального равенства многочленов над бесконечным
+полем.
+Степень многочлена. Степень суммы и произведения многочленов. Отсутствие делителей нуля в алгебре K[x].
+-я лекция 30.10.
+Деление многочленов с остатком. Деление на x-c. Теорема Безу. Схема Горнера. Разложение многочлена по степеням x-c.
+Формула Тейлора (для многочленов над полем нулевой характеристики).
+Кратность корня многочлена. Число корней многочлена с учетом их кратностей. Определение кратности корня по значениям производных (над полем нулевой характеристики).
+-я лекция 06.11.
+Основная теорема алгебры комплексных чисел. Число корней (с учетом кратностей) многочлена над полем комплексных чисел.
+-я лекция 09.11.
+Многочлены с вещественными коэффициентами: свойство мнимых корней и разложение на линейные множители и квадратичные множители с отрицательным дискриминантом. Теорема Декарта.
+-я лекция 16.11.
+Евклидовы кольца: наибольший общий делитель и разложение на простые множители.
+-я лекция 20.11. Многочлены с рациональными коэффициентами: рациональные корни, лемма Гаусса. Неприводимость многочлена деления круга на простое число частей.
+Алгебра многочленов от нескольких переменных. Совпадение формального и функционального равенства многочленов в случае бесконечного поля. Отсутствие делителей нуля в алгебре многочленов. Степень многочлена по совокупности переменных. Однородные многочлены. Степень суммы и произведения многочленов.
+-я лекция 23.11. Лексикографическое упорядочение одночленов. Симметрические многочлены, их выражение через элементарные симметрические многочлены.
+-я декция 30.11. Дискриминант (неполного) кубического многочлена. Определение числа вещественных корней кубического многочлена с вещественными коэффициентами.
+Поле отношений целостного кольца.
+-я лекция 04.12. Поле рациональных дробей. Представление рациональной дроби в виде суммы многочлена и правильной дроби. Представление правильной рациональной дроби в виде суммы простейших дробей (без доказательства единственности). Явная формула для случая, когда знаменатель данной дроби разложен в произведение различных линейных множителей, ее связь с интерполяционной формулой Лагранжа.
+Понятия группы и подгруппы. Простейшие следствия из аксиом группы. Группы преобразований.
+-я лекция 07.12. Разбиение группы на смежные классы по подгруппе. Теорема Лагранжа.
+Гомоморфизмы и изоморфизмы групп. Ядро и образ гомоморфизма. Полный прообраз элемента при гомоморфизме.
+Знак подстановки. Группа четных подстановок.
+Гомоморфизм группы S_4 нв группу S_3, его ядро.
+-я лекция 14.12. Порядок элемента группы. Циклическая подгруппа, порожденнная элементом группы, ее строение.
+Порядок элемента конечной группы. Группы простого порядка.
+Малая теорема Ферма и теорема Эйлера, их групповой смысл.
+Подгруппы циклических групп.
+-я лекция 18.12. Квадратичные расширения полей.