Программа коллоквиума

2021/2022 учебный год

Лекции проходят по вторникам в 9:00 и по четвергам нечётных недель в 9:00.

02.11.2021. Лекция 14.

28.10.2021. Лекция 13. Представление группы, эквивалентность представлений, подпредставление, неприводимое представление. Примеры представлений. Регулярное представление конечной группы. Мономиальное и каноническое представление симметрической группы. Неприводимость канонического представления.

26.10.2021. Лекция 12. Факторгруппа G/Z(G) не может быть циклической. Коммутативность групп порядка p^2. Силовские подгруппы. Первая теорема Силова. Вторая теорема Силова. Третья теорема Силова. Группа порядка pq разрешима ступени не выше двух.

19.10.2021. Лекция 11. Три действия группы на себе. Теорема Кэли. Сопряженность стабилизаторов точек одной орбиты, изоморфизм действий, транзитивное действие изоморфно действию на G/H. Длина орбиты конечной группы и формула Бернсайда. p-группы, нетривиальность центра и разрешимость.

14.10.2021. Лекция 10. Простота группы A_n при n>4 (завершение доказательства). Общие сведения о классификации конечных простых групп. Действие группы на множестве, орбиты и стабилизаторы, транзитивные, свободные и эффективные действия, ядро неэффективности, примеры действий.

12.10.2021. Лекция 9. Основные примеры и свойства разрешимых групп. Производный ряд. Разрешимость группы верхнетреугольных матриц. Простые группы. Существование композиционного ряда. Расширения групп. Абелевы простые группы. Простота группы A_n при n>4 (начали доказывать).

05.10.2021. Лекция 8. Коммутатор элементов. Коммутант группы и его свойства. Характеристические подгруппы. Коммутанты групп S_n, A_n, D_n, SL_n(F) и GL_n(F). Кратные коммутанты, их характеристичность и нормальность. Разрешимые группы.

30.09.2021. Лекция 7. Единственность разложения конечной абелевой группы в прямую сумму примарных циклических. Экспонента конечной группы. Конечная подгруппа мультипликативной группы поля циклическая. Единственность разложения конечно порожденной абелевой группы. Порождающие элементы. Группа A_n порождена тройными циклами и произведениями пар независимых транспозиций (n>4). Порождающие группы D_n. Группа GL_n(F) порождена элементарными матрицами, а группа SL_n(F) – элементарными матрицами первого типа.

28.09.2021. Лекция 6. Приведение целочисленной матрицы к диагональному виду. Теорема о согласованных базисах. Факторгруппы свободных абелевых групп. Универсальное свойство свободной абелевой группы. Разложение конечно порожденной абелевой группы в прямую сумму циклических. Классификация конечных абелевых групп.

21.09.2021. Лекция 5. Абелевы группы: периодическая часть, группы без кручения, конечно порожденные и свободные группы. Базис и ранг свободной абелевой группы, матрица перехода. Подгруппа свободной абелевой группы ранга n свободна и ее ранг не превосходит n.

16.09.2021. Лекция 4. Классы сопряженности в группах S_n, D_n и GL_n(C). Внешние и внутренние прямые произведения групп. Факторизация по сомножителям. Разложение конечной циклической группы.

14.09.2021. Лекция 3. Теорема о гомоморфизме (доказательство). Примеры применения теоремы о гомоморфизме. Группа автоморфизмов Aut(G). Вычисление групп автоморфизмов циклических групп. Группа внутренних автоморфизмов Inn(G). Центр группы. Классы сопряженности, централизатор элемента, формула для числа элементов в классе сопряженности

07.09.2021. Лекция 2. Криптография с открытым ключом. Задача дискретного логарифмирования и метод повторного возведения в квадрат. Система Диффи-Хеллмана обмена ключами. Криптосистема Эль-Гамаля. Смежные классы, индекс подгруппы, теорема Лагранжа и пять следствий из нее. Нормальные подгруппы, факторгруппы, теорема о гомоморфизме (формулировка)

02.09.2021. Лекция 1. Группа, подгруппа, гомоморфизм, изоморфизм и автоморфизм. Примеры групп: числовые (аддитивные и мультипликативные), вычеты, группы подстановок, группы матриц, группы симметрий, группа диэдра D_n, группа кватернионов Q_8. Циклические подгруппы и порядок элемента. Циклические группы и их классификация. Подгруппы циклических групп.