Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- лекции_2_курс_фммф_весна_2026 [06.04.2026 18:17]
timashev
+++ лекции_2_курс_фммф_весна_2026 [08.05.2026 11:08] (текущий)
timashev
@@ Строка 4: / Строка 4: @@
 Лекции читаются **по понедельникам** //еженедельно// на **2**-й паре (10:45-12:20) и **по пятницам** на каждой //чётной// неделе на **1**-й паре (9:00-10:45) а ауд. **12-08**.
+<color #ed1c24>**Объявление:**</color> в понедельник **11 мая** лекции <color #ed1c24>не будет</color>.
 == Литература: ==
@@ Строка 115: / Строка 117: @@
 Характеры неприводимых комплексных представлений образуют ортонормированный базис пространства центральных функций на конечной группе. Вычисление кратности неприводимого представления как скалярного произведения характеров, скалярный квадрат характера равен сумме квадратов кратностей. Однозначная определяемость линейного представления своим характером. Мономиальное представление группы $S_n$, его характер и разложение в прямую сумму тривиального одномерного представления и __стандартного__ $(n-1)$-мерного неприводимого представления. Описание неприводимых представлений группы $S_n$ при $n\le4$. Таблица характеров неприводимых представлений группы $S_4$.
+----
+=== 10 апреля 2026 ===
+== Лекция 12 ==
+Использование характеров в решении задач теории представлений (пример: разложение тензорного произведения неприводимых представлений группы $S_4$ на неприводимые слагаемые).
+__Линейные группы Ли__. Подгруппа в $GL_n$, являющаяся многообразием в окрестности какой-либо одной своей точки, является группой Ли. Примеры: $SL_n$, $O_n$.
+----
+=== 13 апреля 2026 ===
+== Лекция 13 ==
+Линейная группа Ли замкнута в $GL_n$. Связная группа Ли порождается любой окрестностью единицы. Связная компонента единицы в произвольной группе Ли. __Алгебры Ли__, структура алгебры Ли на пространстве квадратных матриц. Касательная алгебра Ли линейной группы Ли, примеры: $SL_n$, $O_n$, $U_n$. __Экспоненциальное отображение__.
+----
+=== 17 апреля 2026 ===
+== Лекция 14 ==
+Свойства экспоненциального отображения. Связная линейная группа Ли однозначно определяется своей касательной алгеброй Ли.
+Линейные представления групп Ли и алгебр Ли, модули над алгебрами Ли. Дифференциал линейного представления группы Ли есть линейное представление её касательной алгебры Ли. Связь между линейным представлением группы Ли и его дифференциалом посредством экспоненциального отображения. Эквивалентность теоретико-представленческих свойств (приводимость, неприводимость, полная приводимость) для линейных представлений связных групп Ли и соответствующих линейных представлений их касательных алгебр Ли. Линейные представления аддитивной группы Ли поля $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$.
+----
+=== 20 апреля 2026 ===
+== Лекция 15 ==
+__Компактные группы Ли__, примеры. __Выпуклые множества__ в многомерном пространстве, их свойства. __Центр масс__ выпуклого множества. Компактность выпуклой оболочки компактного множества. Существование инвариантного скалярного умножения и полная приводимость линейных представлений компактных групп Ли. Линейные представления группы вращений плоскости и многочлены Фурье.
+----
+=== 24 апреля 2026 ===
+== Лекция 16 ==
+__Вещественные формы__ комплексных групп Ли. Совпадение инвариантных подпространств у комплексной группы Ли и её вещественной формы в комплексном линейном представлении. __Редуктивные группы Ли__. __Унитарный трюк Вейля__: полная приводимость представлений редуктивных групп. Линейные представления алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$, описание неприводимых представлений.
+----
+=== 27 апреля 2026 ===
+== Лекция 17 ==
+Описание неприводимых комплексных линейных представлений групп Ли $SL_2(\mathbb{C})$ и $SU_2(\mathbb{C})$. Двулистные накрытия $SL_2(\mathbb{C})\to SO_3(\mathbb{C})$ и $SU_2(\mathbb{C})\to SO_3(\mathbb{R})$. Описание неприводимых комплексных линейных представлений групп Ли $SO_3(\mathbb{C})$ и $SO_3(\mathbb{R})$. Гармонический анализ на 2-мерной сфере: постановка задачи.
+----
+=== 30 апреля 2026 ===
+== Лекция 18 ==
+Гармонический анализ на 2-мерной сфере, __сферические функции Лапласа__.
+Проблема вложения алгебры Ли в ассоциативную алгебру. __Универсальная обёртывающая__ алгебры Ли. Эквивалентность линейных представлений алгебры Ли и её универсальной обёртывающей алгебры.
+----
+=== 4 мая 2026 ===
+== Лекция 19 ==
+__Теорема Пуанкаре-Биркгофа-Витта__. __Алгебра Клиффорда__ векторного пространства с квадратичной формой.
+----
+=== 8 мая 2026 ===
+== Лекция 20 ==
+Градуировка алгебры Клиффорда по модулю 2 (структура __супералгебры__). Структура алгебры Клиффорда, её базис и размерность, случай нулевой квадратичной формы. Центральная простота алгебры Клиффорда или её чётной части для векторного пространства с невырожденной квадратичной формой.