Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- лекции_2_курс_фммф_весна_2026 [10.04.2026 15:36]
timashev
+++ лекции_2_курс_фммф_весна_2026 [08.05.2026 11:08] (текущий)
timashev
@@ Строка 4: / Строка 4: @@
 Лекции читаются **по понедельникам** //еженедельно// на **2**-й паре (10:45-12:20) и **по пятницам** на каждой //чётной// неделе на **1**-й паре (9:00-10:45) а ауд. **12-08**.
+<color #ed1c24>**Объявление:**</color> в понедельник **11 мая** лекции <color #ed1c24>не будет</color>.
 == Литература: ==
@@ Строка 121: / Строка 123: @@
 == Лекция 12 ==
-Использование характеров в решении задач теории представлений (пример: разложение тензорного произведения неприводимых представлений на неприводимые слагаемые).
+Использование характеров в решении задач теории представлений (пример: разложение тензорного произведения неприводимых представлений группы $S_4$ на неприводимые слагаемые).
+__Линейные группы Ли__. Подгруппа в $GL_n$, являющаяся многообразием в окрестности какой-либо одной своей точки, является группой Ли. Примеры: $SL_n$, $O_n$.
+----
+=== 13 апреля 2026 ===
+== Лекция 13 ==
+Линейная группа Ли замкнута в $GL_n$. Связная группа Ли порождается любой окрестностью единицы. Связная компонента единицы в произвольной группе Ли. __Алгебры Ли__, структура алгебры Ли на пространстве квадратных матриц. Касательная алгебра Ли линейной группы Ли, примеры: $SL_n$, $O_n$, $U_n$. __Экспоненциальное отображение__.
+----
+=== 17 апреля 2026 ===
+== Лекция 14 ==
+Свойства экспоненциального отображения. Связная линейная группа Ли однозначно определяется своей касательной алгеброй Ли.
+Линейные представления групп Ли и алгебр Ли, модули над алгебрами Ли. Дифференциал линейного представления группы Ли есть линейное представление её касательной алгебры Ли. Связь между линейным представлением группы Ли и его дифференциалом посредством экспоненциального отображения. Эквивалентность теоретико-представленческих свойств (приводимость, неприводимость, полная приводимость) для линейных представлений связных групп Ли и соответствующих линейных представлений их касательных алгебр Ли. Линейные представления аддитивной группы Ли поля $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$.
+----
+=== 20 апреля 2026 ===
+== Лекция 15 ==
+__Компактные группы Ли__, примеры. __Выпуклые множества__ в многомерном пространстве, их свойства. __Центр масс__ выпуклого множества. Компактность выпуклой оболочки компактного множества. Существование инвариантного скалярного умножения и полная приводимость линейных представлений компактных групп Ли. Линейные представления группы вращений плоскости и многочлены Фурье.
+----
+=== 24 апреля 2026 ===
+== Лекция 16 ==
+__Вещественные формы__ комплексных групп Ли. Совпадение инвариантных подпространств у комплексной группы Ли и её вещественной формы в комплексном линейном представлении. __Редуктивные группы Ли__. __Унитарный трюк Вейля__: полная приводимость представлений редуктивных групп. Линейные представления алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$, описание неприводимых представлений.
+----
+=== 27 апреля 2026 ===
+== Лекция 17 ==
+Описание неприводимых комплексных линейных представлений групп Ли $SL_2(\mathbb{C})$ и $SU_2(\mathbb{C})$. Двулистные накрытия $SL_2(\mathbb{C})\to SO_3(\mathbb{C})$ и $SU_2(\mathbb{C})\to SO_3(\mathbb{R})$. Описание неприводимых комплексных линейных представлений групп Ли $SO_3(\mathbb{C})$ и $SO_3(\mathbb{R})$. Гармонический анализ на 2-мерной сфере: постановка задачи.
+----
+=== 30 апреля 2026 ===
+== Лекция 18 ==
+Гармонический анализ на 2-мерной сфере, __сферические функции Лапласа__.
+Проблема вложения алгебры Ли в ассоциативную алгебру. __Универсальная обёртывающая__ алгебры Ли. Эквивалентность линейных представлений алгебры Ли и её универсальной обёртывающей алгебры.
+----
+=== 4 мая 2026 ===
+== Лекция 19 ==
+__Теорема Пуанкаре-Биркгофа-Витта__. __Алгебра Клиффорда__ векторного пространства с квадратичной формой.
+----
+=== 8 мая 2026 ===
+== Лекция 20 ==
-__Линейные группы Ли__. Подгруппа в GL_n, являющаяся многообразием в окрестности какой-либо одной своей точки, является группой Ли. Примеры: SL_n, O_n.
+Градуировка алгебры Клиффорда по модулю 2 (структура __супералгебры__). Структура алгебры Клиффорда, её базис и размерность, случай нулевой квадратичной формы. Центральная простота алгебры Клиффорда или её чётной части для векторного пространства с невырожденной квадратичной формой.