Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- лекции_2_курс_1_поток_осень_2019 [09.09.2019 12:08]
timashev
+++ лекции_2_курс_1_поток_осень_2019 [08.04.2025 16:43] (текущий)
@@ Строка 50: / Строка 50: @@
 __Эндоморфизмы__ и __автоморфизмы__ групп, группа автоморфизмов Aut G, её описание для циклических групп G. __Внутренние автоморфизмы__, гомоморфизм G → Aut G, его образ — нормальная подгруппа внутренних автоморфизмов Inn G, и ядро Z(G) — __центр__ группы G. Если G неабелева, то группа Inn G — не циклическая.
+----
+=== 16 сентября 2019 ===
+== Лекция 4 ==
+Разложение группы в __прямое произведение__ (внутреннее) двух подгрупп. Свойства внутреннего прямого произведения: перестановочность сомножителей, единственность разложения по сомножителям, покомпонентное перемножение разложений. Внешнее прямое произведение двух групп, его эквивалентность внутреннему. Прямая сумма (абелевых) групп. Примеры: разложение аддитивной и мультипликативной групп поля **C**.
+Обобщение прямого произведения (прямой суммы) групп на случай нескольких сомножителей (слагаемых). Порядок прямого произведения конечных групп. __Китайская теорема об остатках__ в классической и теоретико-групповой формулировке: **Z**_m ≅ **Z**_{m_1} ⊕ … ⊕ **Z**_{m_s} для разложения m=m_1·…·m_s в произведение попарно взаимно простых сомножителей. Разложение циклической группы в прямую сумму примарных циклических групп. Факторизация прямого произведения групп по прямому произведению подгрупп, в частности, по прямым сомножителям.
+Подгруппа, порождённая семейством элементов группы (наименьшая подгруппа, содержащая семейство), описание её элементов.
+----
+=== 20 сентября 2019 ===
+== Лекция 5 ==
+Примеры систем порождающих в группах: S_n (транспозиции), A_n (тройные циклы при n≥3 и пары независимых транспозиций при n≥5), GL_n (элементарные матрицы), SL_n (элементарные матрицы 1-го типа).
+__Конечно порождённые абелевы группы__ (в аддитивной записи), (целочисленные) линейные комбинации элементов абелевой группы, линейная зависимость, базисы. __Свободные абелевы группы__. Основная лемма о линейной зависимости для абелевых групп. Во всех базисах свободной абелевой группы одинаковое число элементов — __ранг__ группы. Изоморфизм свободных абелевых групп одного ранга. Подгруппы свободных абелевых групп. Дискретные подгруппы евклидовых пространств.
+----
+=== 23 сентября 2019 ===
+== Лекция 6 ==
+Доказательство теоремы о том, что дискретная подгруппа в евклидовом пространстве свободна.
+Теорема о базисе свободной абелевой группы, согласованном с подгруппой (доказательство основано на лемме о приведении целочисленной матрицы к "диагональному" виду целочисленными элементарными преобразованиями строк и столбцов). Универсальное свойство свободной абелевой группы.
+Структура конечно порождённых абелевых групп (//формулировка теоремы//): разложение в прямую сумму бесконечных и примарных циклических групп, единственность вида разложения (__ранг__ и __тип кручения__). Структура конечных абелевых групп.
+----
+=== 30 сентября 2019 ===
+== Лекция 7 ==
+Примеры различных разложений данной группы в прямую сумму бесконечных и примарных циклических подгрупп. Доказательство теоремы о структуре конечно порождённых абелевых групп.
+__Экспонента__ группы, проблема Бернсайда. Определение экспоненты конечной абелевой группы по её разложению в прямую сумму циклических групп, критерий цикличности конечной абелевой группы: экспонента совпадает с порядком группы. Цикличность конечной подгруппы в мультипликативной группе поля, в частности, мультипликативной группы конечного поля.
+----
+=== 4 октября 2019 ===
+== Лекция 8 ==
+__Действие__ группы G на множестве X: два эквивалентных определения (гомоморфизм G → S(X) и операция действия G×X → X с определёнными свойствами). Примеры действий, в т.ч. действия группы на себе левыми/правыми умножениями и сопряжениями. __Теорема Кэли__. Ядро неэффективности и эффективные действия, сведение любого действия к эффективному.
+Эквивалентность на множестве, определяемая действием группы. __Орбиты__, транзитивные действия. __Стабилизаторы__ точек, сопряжённость стабилизаторов эквивалентных точек. Взаимно однозначное соответствие между точками орбиты и смежными классами по стабилизатору, число точек в орбите.
+Группа вращений куба: её порядок (из транзитивного действия на вершинах куба) и изоморфизм с S_4 (из действия на диагоналях).
+----
+=== 7 октября 2019 ===
+== Лекция 9 ==
+Эпиморфизм S_4 → S_3 (из действия группы вращений куба на прямых, соединяющих центры противоположных граней куба).
+Действие группы на себе сопряжениями, __классы сопряжённости__ и __централизаторы__, примеры: классы сопряжённости и центры групп GL_n и S_n. Число элементов в классе сопряжённости, формула классов.
+Нетривиальность центра конечной p-группы, коммутативность и классификация групп порядка p² (p — простое число).
+__Коммутатор__ элементов группы, его свойства.
+----
+=== 14 октября 2019 ===
+== Лекция 10 ==
+__Коммутант__ (производная группа) [G,G]=G' группы G, его свойства (в частности, G' — наименьшая нормальная подгруппа в G с абелевой факторгруппой). Коммутанты групп S_n и A_n. Коммутанты групп GL_n(K) и SL_n(K) при n≥3 и при n=2 для достаточно большого поля K.
+Кратные коммутанты, их свойства, характеристические подгруппы. Производный ряд, __разрешимые группы__, ступень (класс) разрешимости. Критерий разрешимости группы: нормальная подгруппа и факторгруппа по ней разрешимы.
+Разрешимость группы S_n при n≤4 и неразрешимость при n≥5. Происхождение понятия и термина "разрешимая группа": проблема разрешимости уравнений в радикалах. Выразимость корней любого многочлена степени n в радикалах через его коэффициенты равносильна разрешимости группы S_n (без доказательства).
+Неразрешимость групп GL_n(K) и SL_n(K) при n≥3 или |K|≥4. Разрешимость конечных p-групп.
+----
+=== 18 октября 2019 ===
+== Лекция 11 ==
+Разрешимость группы треугольных матриц.
+__Простые группы__. Композиционный ряд группы, существование композиционного ряда у конечной группы, теорема Жордана–Гёльдера (без доказательства). Два аспекта проблемы классификации конечных групп: классификация простых групп и классификация групп с заданным набором факторов композиционного ряда.
+Описание простых абелевых групп. Простота групп A_n при n≥5 и SO_3(**R**).
+----
+=== 21 октября 2019 ===
+== Лекция 12 ==
+__Силовские подгруппы__, 1-я теорема Силова. 2-я теорема Силова, критерий нормальности силовской подгруппы. Действие группы сопряжениями на множестве подгрупп, __нормализатор__ подгруппы, 3-я теорема Силова. Пример: силовские подгруппы в A_5. Группы порядка pq, где p и q — различные простые числа, p>q: разрешимость и коммутативность, если p-1 не делится на q.
+----
+=== 28 октября 2019 ===
+== Лекция 13 ==
+__Линейные и матричные представления__ групп, связь между ними, примеры: представления циклических групп, __мономиальное представление__ симметрической группы, представление аддитивной группы **R** вращениями евклидовой плоскости, представление в пространстве функций на множестве с действием группы, __регулярное представление__ (левое и правое).
+__Гомоморфизмы__ и __изоморфизмы__ линейных и матричных представлений. Изоморфные матричные представления соответствуют одному и тому же линейному представлению в разных базисах.
+Инвариантные подпространства, подпредставления. __Приводимые__, __неприводимые__ и __вполне приводимые__ представления, примеры. Подпредставление вполне приводимого представления вполне приводимо.
+----
+=== 1 ноября 2019 ===
+== Лекция 14 ==
+__Прямая сумма__ представлений, разложение вполне приводимого конечномерного представления в прямую сумму неприводимых представлений.
+__Теорема Машке__ о полной приводимости конечномерных представлений конечных групп над полями характеристики 0. Пример: разложение мономиального представления группы S_n в прямую сумму тривиального одномерного представления и __стандартного__ (n-1)-мерного неприводимого представления.
+__Ортогональные__ и __унитарные__ представления, их полная приводимость. Ортогонализуемость (унитаризуемость) конечномерных представлений конечных групп над полем **R** (**С**), следствие — новое доказательство теоремы Машке над **R** и **C**.
+----
+=== 11 ноября 2019 ===
+== Лекция 15 ==
+Инвариантность ядра и образа гомоморфизма представлений. Пространство гомоморфизмов и кольцо эндоморфизмов представления. __Лемма Шура__. Усреднение по группе линейного отображения между пространствами представлений.
+__Кратность__ неприводимого представления в разложении вполне приводимого представления, её выражение через размерность пространства гомоморфизмов (над полем **С**), единственность разложения вполне приводимого представления на неприводимые слагаемые с точностью до изоморфизма.
+Неприводимые комплексные представления абелевых групп одномерны. Описание неприводимых комплексных представлений конечных абелевых групп.
+----
+=== 15 ноября 2019 ===
+== Лекция 16 ==
+Одномерные представления произвольных групп: сведение к случаю абелевых групп. Пример: одномерные представления группы S_n.
+Кратность неприводимого комплексного представления R конечной группы в её (левом) регулярном представлении равна dim R. Конечность числа неприводимых комплексных представлений конечной группы G, сумма квадратов их размерностей равна |G|.
+__Матричные элементы__ линейных представлений, независимость пространства матричных элементов от выбора базиса. Пример: матричные элементы регулярного представления в стандартном базисе. Матричные элементы всех неприводимых комплексных представлений конечной группы G образуют базис пространства **C**-значных функций на G, разложение пространства функций в прямую сумму пространств матричных элементов неприводимых представлений.
+Представление группы G в пространстве функций на G сопряжениями аргумента, инвариантность пространства матричных элементов любого представления. __Центральные функции__ и __характеры__ линейных представлений. Характер неприводимого комплексного представления — единственная, с точностью до пропорциональности, центральная функция в пространстве его матричных элементов.
+----
+=== 18 ноября 2019 ===
+== Лекция 17 ==
+Характеры неприводимых комплексных представлений образуют базис пространства функций на конечной группе. Характер прямой суммы представлений.
+Эрмитова структура на пространстве **C**-значных функций на конечной группе. __Соотношения ортогональности__ для матричных элементов и характеров неприводимых представлений. Вычисление кратности неприводимого представления как скалярного произведения характеров. Однозначная определяемость линейного представления своим характером.
+Описание неприводимых представлений групп S_3 и S_4. __Пример модельной задачи__ на применение теории представлений: в вершинах куба записаны 8 чисел; за один шаг число в каждой вершине заменяется на среднее арифметическое чисел в соседних вершинах; как примерно будет выглядеть распределение чисел в вершинах через много шагов?
+----
+=== 25 ноября 2019 ===
+== Лекция 18 ==
+__Кольца__ и __алгебры__: определение, классы колец и алгебр, примеры (**Z**, **Z**_m, K[x_1,…,x_n], Mat_n(K), алгебра функций на множестве, 3-мерное евклидово пространство с операцией векторного умножения как пример __алгебры Ли__). Ненулевая алгебра с 1 над полем K содержит K в качестве подалгебры. __Структурные константы__, примеры. __Групповая алгебра__ конечной группы. __Алгебра кватернионов__ **H**, её матричная модель в Mat_2(**C**) и свойства, сопряжённый кватернион и кватернионная норма, обратимость ненулевых кватернионов. __Тела__ и __алгебры с делением__.
+__Идеалы__ в кольцах и алгебрах (левые, правые, двусторонние), примеры. __Факторкольца__ и __факторалгебры__.
+----
+=== 29 ноября 2019 ===
+== Лекция 19 ==
+__Гомоморфизмы__ колец и алгебр, их __ядра__ и __образы__. __Основная теорема о гомоморфизмах__ колец и алгебр.
+__Прямая сумма__ колец и алгебр (внутренняя и внешняя). __Китайская теорема об остатках__ для колец вычетов и её следствие — мультипликативное свойство и явная формула для функции Эйлера.
+__Простые__ кольца и алгебры, случай коммутативных ассоциативных колец (алгебр) с 1. Простота алгебры матриц над полем.
+Идеал коммутативного ассоциативного кольца (алгебры) с 1, порождённый семейством элементов. Конечно порождённые идеалы, теорема Гильберта о базисе идеала в алгебре K[x_1,…,x_n] (без доказательства). __Главные идеалы__, кольца главных идеалов. Евклидовы кольца являются кольцами главных идеалов. K[x_1,…,x_n] не является кольцом главных идеалов при n>1.
+----
+=== 9 декабря 2019 ===
+== Лекция 20 ==
+Факторалгебры K[x]/(f), их структура и свойства. Подстановка элемента ассоциативной алгебры с 1 в многочлен, подалгебра, порождённая элементом. __Алгебраические__ и __трансцендентные__ элементы алгебры, __минимальный многочлен__ алгебраического элемента: примеры и свойства. __Присоединение корня__ неприводимого многочлена к полю.
+----
+=== 13 декабря 2019 ===
+== Лекция 21 ==
+Конечные и конечно порождённые расширения полей, степень расширения. Теорема о башне расширений. __Алгебраическое замыкание__ поля в его расширении. Поле (всех) __алгебраических чисел__, его мощность, существование __трансцендентных чисел__. __Поле разложения__ многочлена, его существование и единственность с точностью до изоморфизма.
+----
+=== 16 декабря 2019 ===
+== Лекция 22 ==
+__Простые поля__, их структура, простое подполе данного поля.
+Порядок конечного поля. __Эндоморфизм Фробениуса__. Классификация конечных полей (__полей Галуа__). Построение произвольного поля Галуа присоединением к полю **Z**_p корня неприводимого многочлена. Пример: построение поля из 4 элементов. Вложения конечных полей.
+----
+=== 17 декабря 2019 ===
+== Лекция 23 ==
+Конечномерные алгебры с делением, случай алгебраически замкнутого поля. __Центр__ кольца и алгебры. __Центральные алгебры__, примеры: алгебра матриц, алгебра кватернионов. __Теорема Фробениуса__ о конечномерных алгебрах с делением над **R**.