Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
Следующая версия
Предыдущая версия
лекции_2_курс_1_поток_осень_2025 [05.09.2025 12:44]
klyachko
лекции_2_курс_1_поток_осень_2025 [13.10.2025 12:32] (текущий)
klyachko
Строка 2: Строка 2:
 **[[http://halgebra.math.msu.su/staff/klyachko/|Клячко]]** **[[http://halgebra.math.msu.su/staff/klyachko/|Клячко]]**
  
-== сентября ===+---- 
 + 
 +== 13 октября == 
 + 
 +Нетривиальность центра конечной нетривиальной пэ-группы, 
 +и, более того, нетривиальность пересечения центра с любой 
 +нетривиальной нормальной подгруппой. 
 +Когда факторгруппа по центру циклическая
 +Группы порядка пэ квадрат. 
 +Первая теорема Силова. Существование подгруппы произвольного порядка, который является степенью простого и делит порядок группы, оставил в качестве упражнения, но обещал доказать в следующий раз. 
 + 
 + 
 +== 6 октября == 
 + 
 +Разложение конечной АГ в прямую сумму пэ-компонент. 
 +Единственность разложения к.п.АГ в прямую сумму прнмарных и бесконечных циклических. 
 +(Левое) действие группы на множестве, орбиты, стабилизаторы, примеры, 
 +три канонических действия группы на себе.  
 +Разные орбиты не пересекаются. Длина орбиты равна индексу стабилизатора.  
 + 
 + 
 + 
 + [[http://halgebra.math.msu.su/staff/klyachko/sk.htm|{{ http://halgebra.math.msu.su/staff/klyachko/teaching/sk25.png?400}}]] 
 + 
 +== 3 октября == 
 + 
 +Додоказали теорему о согласованных базисах.  
 +Теорема о строении кп АГ (единственность пока доказали только для числа бесконечных слагаем). 
 +Когда прямая сумма циклических циклическая? 
 +Конечные подгруппы мультипликативной группы поля. 
 +Периодическая часть и пэ-компоненты АГ. 
 +Сформулировали, но не доказали пока, что периодическая часть раскладывается в прямую сумму пэ-компонент. 
 + 
 + 
 +== 29 сентября == 
 + 
 +Критерий примитивности элемента САГ. 
 +Упражнение: когда два элемента можно дополнить до базиса? 
 +(Догадались до ответа правильного.) 
 +Теорема о подгруппах к.п. САГ (о согласованных базисах): 
 +доказали по модулю такого факта: 
 +подгруппа в F содержит примитивный элемент тогда и только тогда, когда она не содержится ни в 2F, ни в 3F,... 
 + 
 +== 22 сентября == 
 + 
 +Любая кп АГ изоморфна факторгруппе подходящей САГ. 
 +К.п. САГ —- это прямая сумма бесконечных циклических. 
 +Инвариантность ранга (два доказательства). 
 +Группа автоморфизмов к.п. САГ. 
 +Когда набор элементов САГ, заданных координатами, 
 +является базисом? 
 +Примитивные элементы. 
 +Критерий примитивности (в терминах координат) 
 +только сформулировали пока. 
 + 
 + 
 + 
 +== 19 сентября == 
 + 
 +Группа внешних автоморфизмов. 
 +Примеров вычисления групп автоморфизмов почти не было 
 +(только группа автоморфизмов бесконечной циклической была). Упражнения 1: Aut, Inn и Out для $D_4$ —- **рекомендую разобрать на семинарах**. 
 +Упражнение 2 с многими звёздочками: Все автоморфизмы симметрических групп, кроме $S_6$, внутренние. 
 +Любая подгруппа конечного индекса содержит нормальную подгруппу конечного индекса (делящего факториал индекса исходной подгруппы). 
 +Прямые произведения: внутреннее и внешнее определение и 
 +связь между ними. 
 +Факторизация прямого произведения по прямому  
 +произведению подгрупп сомножителей. 
 +Базис абелевой группы, свободные АГ (пока было только по одному примеру свободной и несврбодной). 
 +  
 + 
 +== 15 сентября == 
 + 
 +Факторгруппа, канонический гомоморфизм, 
 +нормальные подгруппы —- это в точности ядра всевозможных гомоморфизмов. Основная теорема о гомоморфизмах, примеры. 
 +Группа внутренних автоморфизмов изоморфна факторгруппе по центру. Нормальность подгруппы внутренних автоморфизмов. 
 + 
 +== 8 сентября == 
 + 
 +Порядок элемента делит порядок группы. 
 +Классификация групп порядка семнадцать. 
 +Подгруппы циклических групп циклические. 
 +Описание подгрупп циклических групп  
 +(обратная теорема Лагранжа). 
 +Упражнение: в знакопеременной группе порядка 12 нет подгрупп порядка 6. 
 +Гомоморфизмы, ядро и образ —- подгруппы. 
 +Нормальные подгруппы, нормальность ядра. 
 + 
 + 
 +== 5 сентября ==
  
 Подгруппы —- необходимые и достаточные условия. Подгруппы —- необходимые и достаточные условия.