Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- лекции_2_курс_1_поток_осень_2025 [19.09.2025 13:49]
klyachko
+++ лекции_2_курс_1_поток_осень_2025 [13.10.2025 12:32] (текущий)
klyachko
@@ Строка 3: / Строка 3: @@
 ----
+== 13 октября ==
+Нетривиальность центра конечной нетривиальной пэ-группы,
+и, более того, нетривиальность пересечения центра с любой
+нетривиальной нормальной подгруппой.
+Когда факторгруппа по центру циклическая?
+Группы порядка пэ квадрат.
+Первая теорема Силова. Существование подгруппы произвольного порядка, который является степенью простого и делит порядок группы, оставил в качестве упражнения, но обещал доказать в следующий раз.
+== 6 октября ==
+Разложение конечной АГ в прямую сумму пэ-компонент.
+Единственность разложения к.п.АГ в прямую сумму прнмарных и бесконечных циклических.
+(Левое) действие группы на множестве, орбиты, стабилизаторы, примеры,
+три канонических действия группы на себе.
+Разные орбиты не пересекаются. Длина орбиты равна индексу стабилизатора.
  [[http://halgebra.math.msu.su/staff/klyachko/sk.htm|{{ http://halgebra.math.msu.su/staff/klyachko/teaching/sk25.png?400}}]]
+== 3 октября ==
+Додоказали теорему о согласованных базисах.
+Теорема о строении кп АГ (единственность пока доказали только для числа бесконечных слагаем).
+Когда прямая сумма циклических циклическая?
+Конечные подгруппы мультипликативной группы поля.
+Периодическая часть и пэ-компоненты АГ.
+Сформулировали, но не доказали пока, что периодическая часть раскладывается в прямую сумму пэ-компонент.
+== 29 сентября ==
+Критерий примитивности элемента САГ.
+Упражнение: когда два элемента можно дополнить до базиса?
+(Догадались до ответа правильного.)
+Теорема о подгруппах к.п. САГ (о согласованных базисах):
+доказали по модулю такого факта:
+подгруппа в F содержит примитивный элемент тогда и только тогда, когда она не содержится ни в 2F, ни в 3F,...
+== 22 сентября ==
+Любая кп АГ изоморфна факторгруппе подходящей САГ.
+К.п. САГ —- это прямая сумма бесконечных циклических.
+Инвариантность ранга (два доказательства).
+Группа автоморфизмов к.п. САГ.
+Когда набор элементов САГ, заданных координатами,
+является базисом?
+Примитивные элементы.
+Критерий примитивности (в терминах координат)
+только сформулировали пока.
 == 19 сентября ==
@@ Строка 10: / Строка 63: @@
 Группа внешних автоморфизмов.
 Примеров вычисления групп автоморфизмов почти не было
-(только группа автоморфизмов бесконечной циклической была). Упражнения 1. Aut, Inn и Out для $D_4$ —- **рекомендую разобрать на семинарах**.
+(только группа автоморфизмов бесконечной циклической была). Упражнения 1: Aut, Inn и Out для $D_4$ —- **рекомендую разобрать на семинарах**.
-Упражнение 2 со звёздочками: Все автоморфизмы симметрических групп, кроме S_6, внутренние.
+Упражнение 2 с многими звёздочками: Все автоморфизмы симметрических групп, кроме $S_6$, внутренние.
 Любая подгруппа конечного индекса содержит нормальную подгруппу конечного индекса (делящего факториал индекса исходной подгруппы).
 Прямые произведения: внутреннее и внешнее определение и
@@ Строка 17: / Строка 70: @@
 Факторизация прямого произведения по прямому
 произведению подгрупп сомножителей.
-Базис абелевой группы, свободные АГ (только по одному примеру свободной и несврбодной).
+Базис абелевой группы, свободные АГ (пока было только по одному примеру свободной и несврбодной).