Лектор Гордиенко Алексей Сергеевич

1) 02.09.2026. Магмы (=множества с бинарной операцией), полугруппы, моноиды, группы.

Упражнение. Показать единственность единицы в моноиде.

Упражнение. Показать единственность обратного к элементу моноида, если обратный существует.

Упражнение*: показать, что в определении группы достаточно требовать только существования левой единицы и левого обратного. Всё равно левый обратный окажется и правым, а левая единица - в том числе и правой, т.е. полученная алгебраическая структура будет группой.

Упражнение*: привести пример полугруппы с левой единицей и правыми обратными, которая не является группой.

Подгруппы. Примеры групп: симметрическая, знакопеременная, четверная группа Клейна $V_4$, группа диэдра $D_n$. Алгебра кватернионов $\mathbb H$ и группа кватернионов $Q_8$, их ассоциативность (двумя способами). Гомоморфизм групп. Ядро и образ гомоморфизма. Левые и правые смежные классы. Индекс подгруппы. Вспомнили теорему Лагранжа о конечных группах.

2) 07.09.2026. Нормальная подгруппа. Сопряжённые элементы. Формула для сопряжения в группе подстановок. Пример подгруппы, нормальной в некоторой нормальной подгруппе, но не нормальной во всей группе. Доказательство того, что ядро - нормальная подгруппа. Абелевы группы. Факторгруппа. Теорема о гомоморфизме групп (два варианта). Внешние и внутренние автоморфизмы. Описание группы внутренних автоморфизмов. Центр группы.

(Продолжение следует.)

Примечание. Упражнения со знаком * являются необязательными (хотя они могут быть и очень простыми). Прочие упражнения являются обязательными и входят в программу экзамена.

Лекции по алгебре, 3 семестр (в процессе написания)

Литература.

1. Кострикин А.И. Введение в алгебру.

2. Винберг Э.Б. Курс алгебры.

3. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. (Очень хорошая и интересная книга, можно просто взять и читать, не отрываясь, но терминология достаточно архаичная: например, факторкольцо называется кольцом классов вычетов.)

4. Ленг С. Алгебра. (Достаточно сложная книга для первого ознакомления. Автор вовсю использует язык стрелок и коммутативных диаграмм.)