Кафедра высшей алгебры

Вопросы к экзамену

КУРС ЗАВЕРШЕН

Лекция 24 (19/12) Тела и алгебры с делением. Алгебра кватернионов, ее основные свойства. Алгебраические элементы ассоциативной алгебры и их минимальные многочлены. Конечномерные алгебры с делением над алгебраически замкнутым полем. Теорема Фробениуса.

Лекция 23 (16/12) Подполя конечного поля. Линейный код над конечным полем, его длина и размерность. Расстояние Хэмминга. Минимальное расстояние линейного кода и число исправляемых ошибок. (7,4)-код Хэмминга.

Лекция 22 (09/12) Поле разложения многочлена: доказательство единственности. Простое подполе. Порядок конечного поля. Автоморфизм Фробениуса. Теорема существования и единственности для конечных полей. Поле из четырех элементов. Над Z_p существует неприводимый многочлен любой степени.

Лекция 21 (05/12) Присоединение корня неприводимого многочлена. Алгебраические и трансцендентые элементы. Минимальный многочлен алгебраического элемента. Алгебраичность как конечномерность подалгебры, порожденной элементом. Алгебраические элементы образуют подполе. Конечно порожденное расширение полей. Поле разложения многочлена: доказательство существования.

Лекция 20 (02/12) Факторкольца, теорема о гомоморфизме для колец. Факторкольцо F[x]/(f(x)) является полем в точности тогда, когда f(x) неприводим. Расширения полей, конечное расширение и его степень, степень башни расширений. Cтепень F[x]/(f(x)) над F равна степени многочлена f(x).

Лекция 19 (25/11) Кольца, алгебры и поля: определения и примеры. Групповая алгебра. Делители нуля, обратимые элементы, нильпотенты и идемпотенты. Левые, правые и двусторонние идеалы, идеалы в коммутативных кольцах. Идеал, порожденный подмножеством. Главный идеал. Кольца Z и F[x] - кольца главных идеалов. Пример неглавного идеала в F[x,y]. Алгебра матриц над полем является центральной простой алгеброй.

Лекция 18 (21/11) Кратность вхождения неприводимого представления как скалярное произведение характеров. Определяемость представления его характером. Число неприводимых комплексных представлений конечной группы равно числу классов сопряженности. Разложение регулярного представления на неприводимые. Порядок группы равен сумме квадратов размерностей неприводимых представлений. Явное описание неприводимых представлений групп S_3 и S_4.

Лекция 17 (18/11) Гомоморфизмы представлений, лемма Шура, усреднение линейных отображений. Характер представления, центральные функции на группе, пространство комплекснозначных функций на конечной группе как эрмитово пространство. Cоотношения ортогональности для характеров.

Лекция 16 (11/11) Инвариантность ортогонального дополнения. Одномерные представления: сведение к фактору по коммутанту. Описание одномерных комплексных представлений конечных абелевых групп. Представления абелевых групп: неприводимые комплексные представления одномерны, комплекcное представление конечной абелевой группы разлагается в прямую сумму одномерных.

Лекция 15 (07/11) Прямая сумма представлений, вполне приводимые представления, примеры отсутствия полной приводимости, теорема Машке. Инвариантные скалярные произведения над R и C.

Лекция 14 (06/11) Представление группы, эквивалентность представлений, матричный язык, след и определитель, инвариантное подпространство, подпредставление, неприводимое представление. Примеры: представления групп Z и Z_n, регулярное представление конечной группы, мономиальное представление симметрической группы, подпредставление в гиперплоскости с нулевой суммой координат (называю его каноническим), неприводимость канонического представления при условиях на характеристику поля.

вопросы к коллоквиуму

Лекция 13 (28/10) Факторгруппа G/Z(G) не может быть циклической. Коммутативность групп порядка p^2. Cиловские подгруппы, три теоремы Силова. Группа порядка pq разрешима ступени не выше двух. Группа порядка 15 является циклической.

Лекция 12 (24/10) Примеры действий. Три действия группы на себе. Теорема Кэли. Сопряженность стабилизаторов точек одной орбиты. Изоморфизм действий. Транзитивное действие изоморфно действию на множестве левых смежных классов. Длина орбиты конечной группы и формула Бернсайда. Нетривиальность центра и разрешимость p-групп.

Лекция 11 (21/10) Абелевы простые группы. Простота группы A_n (n\ge 5). История классификации конечных простых групп. Действие группы на множестве. Орбиты и стабилизаторы. Транзитивные, свободные и эффективные действия. Ядро неэффективности.

Лекция 10 (14/10) Кратные коммутанты, их характеристичность и нормальность. Разрешимые группы, основные примеры и свойства. Производный ряд группы. Разрешимость группы верхних треугольных матриц. Простые группы. Существование композиционного ряда у конечной группы. Классификация конечных групп в два этапа: классификация простых групп и классификация расширений.

Лекция 9 (10/10) Группа GL_n(F) порождена элементарными матрицами, а группа SL_n(F) - элементарными матрицами первого типа. Коммутатор элементов, коммутант группы и его основные свойства. Характеристические подгруппы. Коммутанты групп S_n, A_n, D_n, SL_n(F) и GL_n(F).

Лекция 8 (07/10) Экспонента конечной группы. Конечная подгруппа мультипликативной группы поля является циклической. Единственность разложения конечно порожденной абелевой группы. Порождающие элементы группы. Группа A_n порождена тройными циклами и парами независимых транспозиций (n>4). Порождающие группы диэдра.

Лекция 7 (30/09) Теорема о согласованных базисах. Факторгруппы свободных абелевых групп. Инвариантные множители. Универсальное свойство свободной абелевой группы. Разложение конечно порожденной абелевой группы в прямую сумму циклических, единственность разложения конечной абелевой группы в прямую сумму примарных циклических.

Лекция 6 (26/09) Cвободные абелевы группы. Все базисы содержат одно и то же число элементов. Ранг. Матрица перехода. Подгруппа свободной абелевой группы ранга n свободна и ее ранг не превосходит n. Алгоритм приведения целочисленной матрицы к диагональному виду.

Лекция 5 (23/09) Внешние и внутренние прямые произведения. Факторизация по сомножителям. Разложение конечной циклической группы. Абелевы группы: периодическая часть, группы без кручения, конечно порожденные абелевы группы.

Лекция 4 (16/09) Изоморфизм между Inn(G) и G/Z(G). Классы сопряженности, централизатор элемента, формула для числа элементов в классе сопряженности, описание классов сопряженности в симметрической группе, группе GL_n(C), группе диэдра и группе кватернионов.

Лекция 3 (12/09) Факторгруппа, теорема о гомоморфизме, примеры. Группа автоморфизмов Aut(G). Группы автоморфизмов циклических групп. Группа внутренних автоморфизмов. Центр группы.

Лекция 2 (09/09) Подгруппы циклических групп. Криптография с открытым ключом. Задача дискретного логарифмирования и метод повторного возведения в квадрат. Система Диффи-Хеллмана обмена ключами. Криптосистема Эль-Гамаля. Смежные классы, индекс подгруппы, теорема Лагранжа и ee пять следствий. Нормальные подгруппы.

Лекция 1 (02/09) Группы и подгруппы. Гомоморфизмы, изоморфизмы и автоморфизмы. Основные классы групп: числовые (аддитивные и мультипликативные), вычеты, группы подстановок, группы матриц, группы симметрий, группа диэдра, группа кватернионов Q_8. Циклические подгруппы и порядок элемента.