Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- лекции_2_курс_2_поток_осень_2019 [04.09.2019 12:17]
klyachko
+++ лекции_2_курс_2_поток_осень_2019 [08.04.2025 16:43] (текущий)
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 **Лекции, алгебра, второй курс, второй поток, осень 2019 года**
 [[http://mech.math.msu.su/department/algebra/staff/klyachko/|Клячко]]
+----
+**{{:экзаменызима_30_12_19_.pdf|Экзамены (январь 2020 года)}} и {{:расп_экз_и_конс_1_2_5_курсы_19-о.pdf|консультации}}**.
+-----
+**{{:prog-o19.pdf|Окончательная программа экзамена.}}**
+---
+В среду, 18 декабря, в 15:00 имеющие зачёт по алгебре могут подойти
+на кафедру (13-01) для сдачи экзамена.
+декабря в 13:00
+имеющие все зачёты могут подойти на зачёт в 109-ю группу (в 407).
+Можно также сдавать своим  «семинаристам».
+---
+== 16 декабря ==
+{{:burnside.pdf|Теорема Бернсайда о неприводимых матричных алгебрах}}.
+Групповая алгебра.
+Разложение комплексной групповой алгебры в прямую сумму матричных алгебр.
+Число неприводимых комплексных представлений.
+Неприводимое (n-1)-мерное представление симметрической группы S_n.
+== 11 декабря ==
+Лемма Шура. Размерность пространства гомоморфизмов из прямой суммы представлений.
+Сумма квадратов размерностей неприводимых представлений.
+Неприводимые представления неабелевой группы порядка шесть.
+{{:burnside.pdf|Теорема Бернсайда о неприводимых матричных алгебрах}} (не закончили доказательство).
+== 9 декабря ==
+Комплексные представления абелевых групп.
+Одномерные комплексные представления конечных групп.
+Гомоморфизмы представлений.
+Гомоморфизмы из регулярного представления.
+Лемма Шура (пока без комплексного случая).
+----
+**Четырнадцатая студенческая [[http://halgebra.math.msu.su/Olympiad/|олимпиада по алгебре]] состоится 7 декабря 2019 (суббота) в 12:30 в аудитории 14-08.**
+{{:объявление2019-1.pdf|Объявление.}}
+---
+== 2 декабря ==
+Подпредставления.
+Неприводимые представления.
+Прямые суммы представлений.
+Проекторы.
+Теорема Машке.
+== 27 ноября ==
+Единственность поля из p^k элементов.
+Подполя конечных полей
+(единственность подполя данной мощности оставил в качестве простого упражнения).
+Линейные и матричные представления групп.
+Примерчики некоторые.
+Регулярное представление.
+Изоморфизм представлений.
+== 25 ноября (две лекции) ==
+Строение простых расширений полей.
+Теорему о примитивном элементе в характеристике ноль сформулирована в качестве упражнения
+со звёздочками.
+Другое упражнение со звёздочками: пример конечномерного непростого расширения.
+Алгебраические расширения.
+Теорема о башне расширений (об умножении размерностей).
+Алгебраичность эквивалентна локальной конечномерности.
+Поле алгебраических чисел.
+Почему оно поле?
+Почему оно алгебраически замкнуто?
+Поле разложения: существование и единственность.
+Существование поля из p^k элементов.
+== 18 ноября (две лекции) ==
+Теорема о гомоморфизмах для колец.
+Простые кольца.
+Простота кольца матриц над полем.
+Кольца главных идеалов.
+Кольцо многочленов от одной переменной над полем ---КГИ.
+Критерий того, что факторкольцо кольца многочленов от одной переменной над полем
+по идеалу I
+является полем.
+Поле из четырёх элементов.
+Простые поля.
+Простые подполя полей.
+Поля из десяти элементов не бывает.
+Алгебры (над полем), подалгебры, идеалы в алгебрах. Теорема о гомоморфизмах для алгебр.
+Простые алгебраические расширения полей.
+== 13 ноября ==
+Теорема Жордана--Гёльдера.
+Кольца, подкольца, гомоморфизмы, ядро, идеалы.
+Ядро является идеалом.
+== 11 ноября (две лекции) ==
+{{:silow.pdf|Теоремы Силова}}
+и их следствия.
+Лемма Бернсайда о числе орбит.
+Простые группы.
+Простота знакопеременных групп.
+Композиционный ряд, существование.
+Теорема о соответствии подгрупп при эпиморфизмах.
+----
+{{:kol-o19.pdf|Вопросы к коллоквиуму}}
+----
+== 30 октября ==
+Силовские подгруппы. {{:silow.pdf|Теорема Силова}}.
+----
+== 28 октября (две лекции) ==
+Коммутант полной и специальной линейной группы при n>2.
+Разрешимые группы.
+Разрешимость подгрупп и факторгрупп разрешимых групп.
+Разрешимость расширения разрешимой группы при помощи разрешимой.
+Разрешимость группы невырожденных треугольных матриц над полем.
+Действия группы на множестве.
+Различные орбиты не пересекаются.
+Длина орбиты равна индексу стабилизатора.
+Стабилизаторы точек одной орбиты сопряжены.
+Примеры. Нормализаторы и централизаторы.
+Нетривиальность центра нетривиальной конечной р-группы.
+Разрешимость конечных р-групп.
+**Вопросы к коллоквиуму в среду появятся.**
+----
+{{:коллоквиумыосень_23_10_19_.pdf|Расписание колоквиумов (осень 2019)}}
+----
+== 21 октября (две лекции) ==
+Теорема о подгруппах свободных абелевых групп (о согласованных базисах).
+Факторгруппа AxB по подгруппе HxK, где H --- нормальная подгруппа в A,
+а K --- нормальная подгруппа в B.
+{{ag2.pdf|Теорема о строении конечно порождённых абелевых групп (с единственностью)}}.
+Периодическая часть и р-компоненты абелевой группы.
+Конечные подгруппы в мультипликативной группе поля.
+Коммутаторы  и коммутант.
+Коммутант S_n и A_n при n>4.
+Коммутант --- наименьшая нормальная подгруппа, факторгруппа по которой абелева.
+Число гомоморфизмов из симметрической группы порядка 2019! в циклическую группу порядка сто.
+----
+**21 и 28 октября и 11, 18 и 25 ноября будет две лекции по алгебре: на второй и четвёртой паре.**
+----
+[[http://halgebra.math.msu.su/staff/klyachko/sk.htm|{{ http://halgebra.math.msu.su/staff/klyachko/img/2019-o.JPG?400}}]]
+**С 21 сентября по 17 октября я [[http://ehistory.kazakh.ru/upload/blog/fd6/1.jpg|в командировке]].** Вместо лекций по алгебре
+будут лекции по топологии (а потом будет наоборот).
+На семинарах меня будут заменять умные аспиранты.
+Дальнейший план такой:
+  * теорема о строении конечно порождённых абелевых групп;
+  * коммутант;
+  * разрешимые группы;
+  * действия;
+  * теоремы Силова;
+  * ...
+----
+== 18 сентября ==
+Элемент свободной абелевой группы F
+можно включить в базис тогда и только тогда, когда он не лежит в
+F, 3F, 5F,...  и тогда и только тогда, когда его координаты взаимно просты.
+Обобщение на несколько элементов оставил в качестве упражнения, рекомендую разобрать на семинарах (там миноры должны быть взаимно просты).
+Доказали (почти!) теорему о подгруппах свободных абелевых групп (то есть о согласованных базисах).
+{{:ag.pdf|Вот основные вещи.}}
+----
+== 16 сентября (две лекции) ==
+Факторгруппа. Теорема о гомоморфизмах. Примеры. Группа кватернионов. Теорема Кэли.
+Нормальные подгруппы = ядра гомоморфизмов.
+Теорема о том, что каждая подгруппа H конечного индекса содержит нормальную подгруппу конечного индекса
+(делящего |G:H|!). Прямые произведения (внешнее и внутреннее определение).
+Разложение циклической группы в прямую сумму примарных.
+Конечно порождённые свободные абелевы группы (= прямые суммы бесконечных циклических),
+базисы. Всякая конечно порождённая абелева группа изоморфна факторгруппе свободной.
+----
+**В понедельник 16 сентября будет две лекции по алгебре (вторая и четвёртая пары).**
 ----