Кафедра высшей алгебры

Вы посетили: » лекции_2_курс_2_поток_осень_2019



      

Лекции, алгебра, второй курс, второй поток, осень 2019 года

Клячко


halgebra.math.msu.su_staff_klyachko_img_2019-o.jpg

С 21 сентября по 17 октября я в командировке. Вместо лекций по алгебре будут лекции по топологии (а потом будет наоборот). На семинарах меня будут заменять умные аспиранты.

Дальнейший план такой:

  • теорема о строении конечно порождённых абелевых групп;
  • коммутант;
  • разрешимые группы;
  • действия;
  • теоремы Силова;

18 сентября

Элемент свободной абелевой группы F можно включить в базис тогда и только тогда, когда он не лежит в 2F, 3F, 5F,… и тогда и только тогда, когда его координаты взаимно просты. Обобщение на несколько элементов оставил в качестве упражнения, рекомендую разобрать на семинарах (там миноры должны быть взаимно просты).

Доказали (почти!) теорему о подгруппах свободных абелевых групп (то есть о согласованных базисах).

Вот основные вещи.


16 сентября (две лекции)

Факторгруппа. Теорема о гомоморфизмах. Примеры. Группа кватернионов. Теорема Кэли. Нормальные подгруппы = ядра гомоморфизмов. Теорема о том, что каждая подгруппа H конечного индекса содержит нормальную подгруппу конечного индекса (делящего |G:H|!). Прямые произведения (внешнее и внутреннее определение). Разложение циклической группы в прямую сумму примарных. Конечно порождённые свободные абелевы группы (= прямые суммы бесконечных циклических), базисы. Всякая конечно порождённая абелева группа изоморфна факторгруппе свободной.


В понедельник 16 сентября будет две лекции по алгебре (вторая и четвёртая пары).


4 сентября

Подгруппы циклических групп. Смежные классы. Теорем Лагранжа. Индекс. Нормальные подгруппы. Сопряжённые подгруппы. Гомоморфизмы. Ядро и образ. Нормальность ядра. Факторгруппа (только корректность пока доказали).


2 сентября (две лекции)

Содержание курса. Группы. Примеры (кватернионов не было, но будут потом). Группы как группы симметрий разных структур. Группы автоморфизмов (поля, векторного пространства, группы). Алгебраическое описание диэдральной группы. Изоморфизм. Подгруппы. (Под)группы, порождённые чем-то. Порядок элемента. Описание циклических групп.


В понедельник 2 сентября будет две лекции по алгебре (вторая и четвёртая пары). А 9 сентября вместо лекции по алгебре будет лекция по топологии.