Кафедра высшей алгебры

Вы посетили:



      

Различия

Здесь показаны различия между выбранной ревизией и текущей версией данной страницы.

лекции_2_курс_2_поток_осень_2019 [04.09.2019 13:17]
klyachko
лекции_2_курс_2_поток_осень_2019 [31.12.2019 22:37] (текущий)
klyachko
Строка 1: Строка 1:
**Лекции, алгебра, второй курс, второй поток, осень 2019 года** **Лекции, алгебра, второй курс, второй поток, осень 2019 года**
- 
[[http://mech.math.msu.su/department/algebra/staff/klyachko/|Клячко]] [[http://mech.math.msu.su/department/algebra/staff/klyachko/|Клячко]]
 +
 +----
 +
 +**{{:экзаменызима_30_12_19_.pdf|Экзамены (январь 2020 года)}} и {{:расп_экз_и_конс_1_2_5_курсы_19-о.pdf|консультации}}**.
 +
 +
 +-----
 +
 +**{{:prog-o19.pdf|Окончательная программа экзамена.}}**
 +
 +---
 +
 +В среду, 18 декабря, в 15:00 имеющие зачёт по алгебре могут подойти
 +на кафедру (13-01) для сдачи экзамена.
 +
 +30 декабря в 13:00
 +имеющие все зачёты могут подойти на зачёт в 109-ю группу (в 407).
 +
 +Можно также сдавать своим  «семинаристам».
 +
 +---
 +
 +== 16 декабря ==
 +
 +{{:burnside.pdf|Теорема Бернсайда о неприводимых матричных алгебрах}}.
 +Групповая алгебра.
 +Разложение комплексной групповой алгебры в прямую сумму матричных алгебр.
 +Число неприводимых комплексных представлений.
 +Неприводимое (n-1)-мерное представление симметрической группы S_n.
 +
 +
 +== 11 декабря ==
 +
 +Лемма Шура. Размерность пространства гомоморфизмов из прямой суммы представлений.
 +Сумма квадратов размерностей неприводимых представлений.
 +Неприводимые представления неабелевой группы порядка шесть.
 +{{:burnside.pdf|Теорема Бернсайда о неприводимых матричных алгебрах}} (не закончили доказательство).
 +
 +
 +== 9 декабря ==
 +
 +Комплексные представления абелевых групп.
 +Одномерные комплексные представления конечных групп.
 +Гомоморфизмы представлений.
 +Гомоморфизмы из регулярного представления.
 +Лемма Шура (пока без комплексного случая).
 +
 +
 +----
 +
 +**Четырнадцатая студенческая [[http://halgebra.math.msu.su/Olympiad/|олимпиада по алгебре]] состоится 7 декабря 2019 (суббота) в 12:30 в аудитории 14-08.**
 +
 +
 +{{:объявление2019-1.pdf|Объявление.}}
 +
 +
 +---
 +
 +== 2 декабря ==
 +
 +Подпредставления.
 +Неприводимые представления.
 +Прямые суммы представлений.
 +Проекторы.
 +Теорема Машке.
 +
 +
 +== 27 ноября ==
 +Единственность поля из p^k элементов.
 +Подполя конечных полей
 +(единственность подполя данной мощности оставил в качестве простого упражнения).
 +Линейные и матричные представления групп.
 +Примерчики некоторые.
 +Регулярное представление.
 +Изоморфизм представлений.
 +
 +
 +== 25 ноября (две лекции) ==
 +
 +Строение простых расширений полей.
 +Теорему о примитивном элементе в характеристике ноль сформулирована в качестве упражнения
 +со звёздочками.
 +Другое упражнение со звёздочками: пример конечномерного непростого расширения.
 +Алгебраические расширения.
 +Теорема о башне расширений (об умножении размерностей).
 +Алгебраичность эквивалентна локальной конечномерности.
 +Поле алгебраических чисел.
 +Почему оно поле?
 +Почему оно алгебраически замкнуто?
 +Поле разложения: существование и единственность.
 +Существование поля из p^k элементов.
 +
 +
 +== 18 ноября (две лекции) ==
 +
 +Теорема о гомоморфизмах для колец.
 +Простые кольца.
 +Простота кольца матриц над полем.
 +Кольца главных идеалов.
 +Кольцо многочленов от одной переменной над полем ---КГИ.
 +Критерий того, что факторкольцо кольца многочленов от одной переменной над полем
 +по идеалу I
 +является полем.
 +Поле из четырёх элементов.
 +Простые поля.
 +Простые подполя полей.
 +Поля из десяти элементов не бывает.
 +Алгебры (над полем), подалгебры, идеалы в алгебрах. Теорема о гомоморфизмах для алгебр.
 +Простые алгебраические расширения полей.
 +
 +== 13 ноября ==
 +
 +Теорема Жордана--Гёльдера.
 +Кольца, подкольца, гомоморфизмы, ядро, идеалы.
 +Ядро является идеалом.
 +
 +
 +
 +== 11 ноября (две лекции) ==
 +
 +{{:silow.pdf|Теоремы Силова}}
 +и их следствия.
 +Лемма Бернсайда о числе орбит.
 +Простые группы.
 +Простота знакопеременных групп.
 +Композиционный ряд, существование.
 +Теорема о соответствии подгрупп при эпиморфизмах.
 +
 +----
 +
 +{{:kol-o19.pdf|Вопросы к коллоквиуму}}
 +
 +----
 +
 +
 +== 30 октября ==
 +
 +Силовские подгруппы. {{:silow.pdf|Теорема Силова}}.
 +
 +----
 +
 +
 +== 28 октября (две лекции) ==
 +
 +Коммутант полной и специальной линейной группы при n>2.
 +Разрешимые группы.
 +Разрешимость подгрупп и факторгрупп разрешимых групп.
 +Разрешимость расширения разрешимой группы при помощи разрешимой.
 +Разрешимость группы невырожденных треугольных матриц над полем.
 +Действия группы на множестве.
 +Различные орбиты не пересекаются.
 +Длина орбиты равна индексу стабилизатора.
 +Стабилизаторы точек одной орбиты сопряжены.
 +Примеры. Нормализаторы и централизаторы.
 +Нетривиальность центра нетривиальной конечной р-группы.
 +Разрешимость конечных р-групп.
 +
 +**Вопросы к коллоквиуму в среду появятся.**
 +
 +----
 +{{:коллоквиумыосень_23_10_19_.pdf|Расписание колоквиумов (осень 2019)}}
 +
 +----
 +
 +== 21 октября (две лекции) ==
 +
 +Теорема о подгруппах свободных абелевых групп (о согласованных базисах).
 +Факторгруппа AxB по подгруппе HxK, где H --- нормальная подгруппа в A,
 +а K --- нормальная подгруппа в B.
 +{{ag2.pdf|Теорема о строении конечно порождённых абелевых групп (с единственностью)}}.
 +Периодическая часть и р-компоненты абелевой группы.
 +Конечные подгруппы в мультипликативной группе поля.
 +Коммутаторы  и коммутант.
 +Коммутант S_n и A_n при n>4.
 +Коммутант --- наименьшая нормальная подгруппа, факторгруппа по которой абелева.
 +Число гомоморфизмов из симметрической группы порядка 2019! в циклическую группу порядка сто.
 +
 +
 +
 +----
 +
 +**21 и 28 октября и 11, 18 и 25 ноября будет две лекции по алгебре: на второй и четвёртой паре.**
 +
 +----
 +
 +[[http://halgebra.math.msu.su/staff/klyachko/sk.htm|{{ http://halgebra.math.msu.su/staff/klyachko/img/2019-o.JPG?400}}]]
 +
 +
 +
 +**С 21 сентября по 17 октября я [[http://ehistory.kazakh.ru/upload/blog/fd6/1.jpg|в командировке]].** Вместо лекций по алгебре
 +будут лекции по топологии (а потом будет наоборот).
 +На семинарах меня будут заменять умные аспиранты.
 +
 +Дальнейший план такой:
 +  * теорема о строении конечно порождённых абелевых групп;
 +  * коммутант;
 +  * разрешимые группы;
 +  * действия;
 +  * теоремы Силова;
 +  * ...
 +
 + 
 +
 +
 +
 +
 +
 +----
 +
 +== 18 сентября ==
 +
 +Элемент свободной абелевой группы F
 +можно включить в базис тогда и только тогда, когда он не лежит в
 +2F, 3F, 5F,...  и тогда и только тогда, когда его координаты взаимно просты.
 +Обобщение на несколько элементов оставил в качестве упражнения, рекомендую разобрать на семинарах (там миноры должны быть взаимно просты).
 +
 +Доказали (почти!) теорему о подгруппах свободных абелевых групп (то есть о согласованных базисах).
 +
 +{{:ag.pdf|Вот основные вещи.}}
 +
 +
 +----
 +
 +== 16 сентября (две лекции) ==
 +
 +Факторгруппа. Теорема о гомоморфизмах. Примеры. Группа кватернионов. Теорема Кэли.
 +Нормальные подгруппы = ядра гомоморфизмов.
 +Теорема о том, что каждая подгруппа H конечного индекса содержит нормальную подгруппу конечного индекса
 +(делящего |G:H|!). Прямые произведения (внешнее и внутреннее определение).
 +Разложение циклической группы в прямую сумму примарных.
 +Конечно порождённые свободные абелевы группы (= прямые суммы бесконечных циклических),
 +базисы. Всякая конечно порождённая абелева группа изоморфна факторгруппе свободной.
 + 
 +
 +
 +----
 +
 +**В понедельник 16 сентября будет две лекции по алгебре (вторая и четвёртая пары).**
---- ----