Различия
Показаны различия между двумя версиями страницы.
Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия Следующая версия | Предыдущая версия | ||
лекции_2_курс_2_поток_осень_2019 [04.09.2019 12:17] klyachko |
лекции_2_курс_2_поток_осень_2019 [08.04.2025 16:43] (текущий) |
||
---|---|---|---|
Строка 1: | Строка 1: | ||
**Лекции, | **Лекции, | ||
- | |||
[[http:// | [[http:// | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | |||
+ | **{{: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ----- | ||
+ | |||
+ | **{{: | ||
+ | |||
+ | --- | ||
+ | |||
+ | В среду, 18 декабря, | ||
+ | на кафедру (13-01) для сдачи экзамена. | ||
+ | |||
+ | 30 декабря в 13:00 | ||
+ | имеющие все зачёты могут подойти на зачёт в 109-ю группу (в 407). | ||
+ | |||
+ | Можно также сдавать своим | ||
+ | |||
+ | --- | ||
+ | |||
+ | == 16 декабря == | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | Групповая алгебра. | ||
+ | Разложение комплексной групповой алгебры в прямую сумму матричных алгебр. | ||
+ | Число неприводимых комплексных представлений. | ||
+ | Неприводимое (n-1)-мерное представление симметрической группы S_n. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | == 11 декабря == | ||
+ | |||
+ | Лемма Шура. Размерность пространства гомоморфизмов из прямой суммы представлений. | ||
+ | Сумма квадратов размерностей неприводимых представлений. | ||
+ | Неприводимые представления неабелевой группы порядка шесть. | ||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | == 9 декабря == | ||
+ | |||
+ | Комплексные представления абелевых групп. | ||
+ | Одномерные комплексные представления конечных групп. | ||
+ | Гомоморфизмы представлений. | ||
+ | Гомоморфизмы из регулярного представления. | ||
+ | Лемма Шура (пока без комплексного случая). | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | |||
+ | **Четырнадцатая студенческая [[http:// | ||
+ | |||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | --- | ||
+ | |||
+ | == 2 декабря == | ||
+ | |||
+ | Подпредставления. | ||
+ | Неприводимые представления. | ||
+ | Прямые суммы представлений. | ||
+ | Проекторы. | ||
+ | Теорема Машке. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | == 27 ноября == | ||
+ | Единственность поля из p^k элементов. | ||
+ | Подполя конечных полей | ||
+ | (единственность подполя данной мощности оставил в качестве простого упражнения). | ||
+ | Линейные и матричные представления групп. | ||
+ | Примерчики некоторые. | ||
+ | Регулярное представление. | ||
+ | Изоморфизм представлений. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | == 25 ноября (две лекции) == | ||
+ | |||
+ | Строение простых расширений полей. | ||
+ | Теорему о примитивном элементе в характеристике ноль сформулирована в качестве упражнения | ||
+ | со звёздочками. | ||
+ | Другое упражнение со звёздочками: | ||
+ | Алгебраические расширения. | ||
+ | Теорема о башне расширений (об умножении размерностей). | ||
+ | Алгебраичность эквивалентна локальной конечномерности. | ||
+ | Поле алгебраических чисел. | ||
+ | Почему оно поле? | ||
+ | Почему оно алгебраически замкнуто? | ||
+ | Поле разложения: | ||
+ | Существование поля из p^k элементов. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | == 18 ноября (две лекции) == | ||
+ | |||
+ | Теорема о гомоморфизмах для колец. | ||
+ | Простые кольца. | ||
+ | Простота кольца матриц над полем. | ||
+ | Кольца главных идеалов. | ||
+ | Кольцо многочленов от одной переменной над полем ---КГИ. | ||
+ | Критерий того, что факторкольцо кольца многочленов от одной переменной над полем | ||
+ | по идеалу I | ||
+ | является полем. | ||
+ | Поле из четырёх элементов. | ||
+ | Простые поля. | ||
+ | Простые подполя полей. | ||
+ | Поля из десяти элементов не бывает. | ||
+ | Алгебры (над полем), | ||
+ | Простые алгебраические расширения полей. | ||
+ | |||
+ | == 13 ноября == | ||
+ | |||
+ | Теорема Жордана--Гёльдера. | ||
+ | Кольца, | ||
+ | Ядро является идеалом. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | == 11 ноября (две лекции) == | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | и их следствия. | ||
+ | Лемма Бернсайда о числе орбит. | ||
+ | Простые группы. | ||
+ | Простота знакопеременных групп. | ||
+ | Композиционный ряд, существование. | ||
+ | Теорема о соответствии подгрупп при эпиморфизмах. | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | |||
+ | |||
+ | == 30 октября == | ||
+ | |||
+ | Силовские подгруппы. {{: | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | |||
+ | |||
+ | == 28 октября (две лекции) == | ||
+ | |||
+ | Коммутант полной и специальной линейной группы при n>2. | ||
+ | Разрешимые группы. | ||
+ | Разрешимость подгрупп и факторгрупп разрешимых групп. | ||
+ | Разрешимость расширения разрешимой группы при помощи разрешимой. | ||
+ | Разрешимость группы невырожденных треугольных матриц над полем. | ||
+ | Действия группы на множестве. | ||
+ | Различные орбиты не пересекаются. | ||
+ | Длина орбиты равна индексу стабилизатора. | ||
+ | Стабилизаторы точек одной орбиты сопряжены. | ||
+ | Примеры. Нормализаторы и централизаторы. | ||
+ | Нетривиальность центра нетривиальной конечной р-группы. | ||
+ | Разрешимость конечных р-групп. | ||
+ | |||
+ | **Вопросы к коллоквиуму в среду появятся.** | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | |||
+ | == 21 октября (две лекции) == | ||
+ | |||
+ | Теорема о подгруппах свободных абелевых групп (о согласованных базисах). | ||
+ | Факторгруппа AxB по подгруппе HxK, где H --- нормальная подгруппа в A, | ||
+ | а K --- нормальная подгруппа в B. | ||
+ | {{ag2.pdf|Теорема о строении конечно порождённых абелевых групп (с единственностью)}}. | ||
+ | Периодическая часть и р-компоненты абелевой группы. | ||
+ | Конечные подгруппы в мультипликативной группе поля. | ||
+ | Коммутаторы | ||
+ | Коммутант S_n и A_n при n>4. | ||
+ | Коммутант --- наименьшая нормальная подгруппа, | ||
+ | Число гомоморфизмов из симметрической группы порядка 2019! в циклическую группу порядка сто. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | |||
+ | **21 и 28 октября и 11, 18 и 25 ноября будет две лекции по алгебре: | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | |||
+ | [[http:// | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | **С 21 сентября по 17 октября я [[http:// | ||
+ | будут лекции по топологии (а потом будет наоборот). | ||
+ | На семинарах меня будут заменять умные аспиранты. | ||
+ | |||
+ | Дальнейший план такой: | ||
+ | * теорема о строении конечно порождённых абелевых групп; | ||
+ | * коммутант; | ||
+ | * разрешимые группы; | ||
+ | * действия; | ||
+ | * теоремы Силова; | ||
+ | * ... | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | |||
+ | == 18 сентября == | ||
+ | |||
+ | Элемент свободной абелевой группы F | ||
+ | можно включить в базис тогда и только тогда, когда он не лежит в | ||
+ | 2F, 3F, 5F, | ||
+ | Обобщение на несколько элементов оставил в качестве упражнения, | ||
+ | |||
+ | Доказали (почти!) теорему о подгруппах свободных абелевых групп (то есть о согласованных базисах). | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | |||
+ | == 16 сентября (две лекции) == | ||
+ | |||
+ | Факторгруппа. Теорема о гомоморфизмах. Примеры. Группа кватернионов. Теорема Кэли. | ||
+ | Нормальные подгруппы = ядра гомоморфизмов. | ||
+ | Теорема о том, что каждая подгруппа H конечного индекса содержит нормальную подгруппу конечного индекса | ||
+ | (делящего |G:H|!). Прямые произведения (внешнее и внутреннее определение). | ||
+ | Разложение циклической группы в прямую сумму примарных. | ||
+ | Конечно порождённые свободные абелевы группы (= прямые суммы бесконечных циклических), | ||
+ | базисы. Всякая конечно порождённая абелева группа изоморфна факторгруппе свободной. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | |||
+ | **В понедельник 16 сентября будет две лекции по алгебре (вторая и четвёртая пары).** | ||
---- | ---- |