Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- лекции_2_курс_2_поток_осень_2025 [05.09.2025 17:50]
kulikova
+++ лекции_2_курс_2_поток_осень_2025 [13.10.2025 23:55] (текущий)
kulikova
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
- Лекции по "Алгебре", 2-й курс, 2-й поток, осень, 2025-26 уч. год
+** Лекции по "Алгебре", 2-й курс, 2-й поток, осень, 2025-26 уч. год**
 **Лектор**: Куликова О.В.
@@ Строка 19: / Строка 19: @@
 ----
+ **Лекция 1** (1 сентября, пн)
-== Лекция 1 (1 сентября, пн) ==
 Повторение из 1-го семестра: определение группы, подгруппы, изоморфизма групп, примеры.
@@ Строка 27: / Строка 26: @@
+----
-== Лекция 2 (5 сентября, пт) ==
+**Лекция 2** (5 сентября, пт)
 Свойства порядка элемента. Система порождающих. Циклические группы.
@@ Строка 34: / Строка 35: @@
 Смежные классы по подгруппе.
-== Лекция 3 (12 сентября, пт) ==
-<color #00a2e8>ПЛАН</color>
+----
+**Лекция 3** (12 сентября, пт)
 Смежные классы по подгруппе. Теорема Лагранжа. Следствия из теоремы Лагранжа. Нормальные подгруппы. Факторгруппы.
 Гомоморфизмы. Теорема о гомоморфизме.
+----
+**Лекция 4** (15 сентября, пн)
+Теорема о гомоморфизме. Примеры. Любая нормальная подгруппа является ядром некоторого гомоморфизма. Естественный гомоморфизм.
+Свободная группа.
+----
+**Лекция 5** (19 сентября, пт)
+Универсальное свойство свободной группы. Определяющие соотношения. Теорема Дика.
+----
+**Лекция 6** (26 сентября, пт)
+Прямые произведения групп. Z_m ≅ Z_{m_1} ⊕ … ⊕ Z_{m_s}, если m=m_1·…·m_s, где m_1, …, m_s - попарно взаимно простые числа. Связь между внешним и внутренним прямым произведением. Факторизация прямого произведения групп по прямому произведению подгрупп, в частности,
+по прямым сомножителям.
+**Лекция 7** (29 сентября, пн)
+Конечно порожденные абелевы группы (в аддитивной записи),(целочисленные) линейные комбинации элементов абелевой группы, линейная зависимость, базисы. Свободные абелевы группы.
+Основная лемма о линейной зависимости для абелевых групп. Во всех базисах свободной абелевой группы одинаковое число элементов. Ранг свободной абелевой группы. Изоморфизм свободных абелевых групп одного ранга. Подгруппы свободных абелевых групп.
+Матрицы перехода от базиса к базису. Целочисленные элементарные матрицы. Целочисленные элементарные преобразования строк и столбцов целочисленной матрицы.
+----
+**Лекция 8** (3 октября, пт)
+Лемма о приведении целочисленной матрицы к «диагональному» виду целочисленными элементарными преобразованиями строк и столбцов.
+Теорема о базисе свободной абелевой группы, согласованном с базисом подгруппы. Следствия. Универсальное свойство свободной абелевой группы. Следствия.
+----
+**Лекция 9** (10 октября, пт)
+Основная теорема о конечно порожденных абелевых группах.
+**Лекция 10** (13 октября, пн)
+Окончание доказательства Основной теоремы о конечно порожденных абелевых группах. Экпонента конечной группы. О конечных подгруппах мультипликативной группы поля.
+Действие группы на множестве. Определение.
+**Лекция 11** (17 октября, пт)
+<color #00a2e8>ПЛАН</color>
+Орбиты. Стабилизаторы. Взаимно однозначное соответствие между точками орбиты и смежными классами по стабилизатору, число точек в орбите. Группа вращений куба: её порядок (из транзитивного действия на вершинах куба) и изоморфизм с S_4 (из действия на диагоналях). Стабилизаторы разных точек.
+Действие группы на себе. Теорема Кэли.
+Группа автоморфизмов. Группа внутренних автоморфизмов.
+Классы сопряженности. Централизаторы. Центр. Классы сопряженности и центр группы S_n. Центр конечной p-группы. Группы порядка p^2