Преподаватель: Д.А.Тимашёв

Занятия проходят по понедельникам на каждой нечётной неделе на 1-й паре (9:00-10:35) в ауд. 406 и по средам на 1-й паре (9:00-10:35) в ауд. 16-13.

Нумерация задач даётся по «Сборнику задач по алгебре» под ред. А.И.Кострикина, 3-е изд., Москва, Физматлит, 2001. Дополнительные задачи помечены знаком ★.

Системы линейных уравнений (СЛУ), их решение методом Гаусса. Связь решений совместной СЛУ и ассоциированной однородной системы линейных уравнений (ОСЛУ). Критерии определённости совместной СЛУ и квадратной СЛУ: ассоциированная ОСЛУ должна быть определена. Задача интерполяции, теорема о полиномиальной интерполяции.

• 8.1вг, 8.2вг, 8.8;
• ★ найти явную формулу для интерполяционного многочлена.

Метод Крамера решения квадратных СЛУ малых размеров (2×2 и 3×3). Определители 2-го и 3-го порядка.

• 8.6вд, 8.2е, 9.1гд, 9.2ж, 16.1б.

Линейная зависимость, базис системы векторов, координаты вектора в базисе. Стандартный базис в R^n. Когда система векторов обладает единственным базисом? Ранг системы векторов и размерность пространства. Алгоритм нахождения базиса конечной системы векторов в R^n.

• 6.4, 6.13, 6.14, 6.12вги, 7.19★.

Вычисление ранга матрицы. Фундаментальная система решений ОСЛУ.

• 7.1дл, 7.2аз, 7.5, 7.7, 7.10, 8.4вг, 8.25★.

Арифметические операции над матрицами (сложение матриц, умножение матриц на числа, умножение матриц), их свойства, некоммутативность умножения матриц, делители нуля и нильпотентные матрицы, нильпотентность нильтреугольных матриц.

• 17.1бв, 17.4ав, 17.25, 19.26, 19.15, 19.18, 17.26★.

Умножение на диагональные матрицы и матричные единицы. Квадратные матрицы, коммутирующие со всеми матрицами того же размера, скалярны. Единичная матрица. Обратная матрица. Если матрица A нильпотентна, то матрицы E+A и E-A обратимы. Нахождение обратной матрицы сводится к решению матричных уравнений вида AX=B, алгоритм их решения.

• 17.17, 18.3взи, 18.17★, 19.14, 19.21.

Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований. Матрица, обратная к транспонированной. Элементарные матрицы, умножение на них слева и справа.

Умножение подстановок. Разложение подстановки на независимые циклы, применение к возведению подстановок в степень. Решение уравнений в подстановках.

• 18.9кл, 19.3аг, 3.1вг, 3.2аге, 3.13;
• как изменится A^{-1}, если матрицу A подвергнуть одному из следующих преобразований:
  • записать её строки в обратном порядке;
  • транспонировать относительно побочной диагонали;
  • повернуть на 90º против часовой стрелки?
• решить уравнения в подстановках:
  • 
• (задача о квартирном обмене) Несколько семей хотят обменяться квартирами. За один день каждая семья может принять участие не более чем в одном обмене квартирами с какой-нибудь другой семьей. Доказать, что любой сложный обмен можно осуществить не более чем за два дня.

Чётность и знак перестановок и подстановок. Знак цикла. Задача про «пятнашки»: можно ли, последовательно передвигая фишки на соседнее свободное место, поменять местами фишки 14 и 15, оставив остальные фишки на месте? Можно ли, вращая слои куба Рубика на шарнирах, добиться того, чтобы угловые кубики одной из граней переставились по кругу, а остальные кубики остались на своих местах (возможно, повернувшись)?

Определители квадратных матриц, их вычисление по развёрнутой формуле.

• 3.6бвж, 3.11, 3.22, 10.4б, 16.2, 11.1, 11.4;
• можно ли, вращая слои куба Рубика на шарнирах, добиться того, чтобы один из боковых кубиков в нём перевернулся, а остальные остались на своих местах, не изменив положения?

Поведение определителя при различных преобразованиях матрицы. Вычисление определителей приведением к треугольному виду и приведением к определителю Вандермонда.

• 13.1бвж, 13.2ежз, 14.1зкм★н.

Определитель произведения матриц. Разложение определителя по строке и по столбцу.

• 12.2, 12.3дези, 15.2бв, 16.19.

Вычисление определителей с помощью рекуррентных соотношений. Трёхдиагональные определители и линейные однородные рекуррентные уравнения 2-го порядка.

• 14.1гдео, 12.4, 4.5, 16.3, 11.10е;
• вычислить определитель:
• 

Коллоквиум

Ранг произведения матриц, случай невырожденности одного из сомножителей. Ранг и определитель присоединённой матрицы. Явная формула для обратной матрицы.

• 7.11, 16.4б, 18.8гкл.

1. Решение СЛУ в зависимости от параметра.
2. Нахождение ФСР и размерности пространства решений ОСЛУ (1 вариант); нахождение базиса системы векторов и выражение через него остальных векторов системы (2 вариант).
3. Нахождение обратной матрицы (1 вариант); решение матричного уравнения (2 вариант).
4. Вычисление определителя размера 4×4.
5. Вычисление определителя размера n×n.
6. Решение уравнения в подстановках (1 вариант); вычисление трёхдиагонального определителя (2 вариант).

Кольца и поля вычетов. Решение СЛУ и квадратных уравнений над полями вычетов. Использование колец вычетов для решения диофантовых уравнений (примеры: 23x-17y=5, 3x²+2=y², 7x²+2=y³). Малая теорема Ферма. Обратимые элементы кольца вычетов, функция Эйлера, теорема Эйлера. Задача: последовательность k_1=2, k_{n+1}=2^{k_n} стабилизируется по модулю 7. Квадратичные вычеты, символ Лежандра.

• 66.20, 8.10б, 66.24вг, 66.23ав, 66.32;
• решить диофантовы уравнения: 41x-11y=19, 35x+21y=14, 15x²-7y²=9;
• доказать, что для любых a∈Z и m∈N последовательность k_1=a, k_{n+1}=a^{k_n} стабилизируется по модулю m;
• ★ доказать, что символ Лежандра элемента a∈Z_p равен знаку подстановки на множестве Z_p\{0}, задаваемой умножением на a.

Поле комплексных чисел. Вычисления над комплексными числами в алгебраической форме. Геометрическая интерпретация комплексных чисел, решение алгебраических задач геометрическими методами (пример: уравнение |(z+1-i)/(z-1+i)|=1) и геометрических задач методами алгебры комплексных чисел (пример: доказательство теоремы о том, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон).

Тригонометрическая форма записи комплексных чисел, формула Муавра, вычисления над комплексными числами в тригонометрической форме. Выражение тригонометрических функций кратных углов через функции исходного угла и степеней тригонометрических функций через функции кратных углов в первой степени с помощью комплексных чисел.

Свойства операции сопряжения. Автоморфизмы полей и их расширений, группы Галуа.

• 20.1еж, 21.2бж, 21.9аг, 21.10, 21.12, 21.13г;
• доказать с помощью комплексных чисел теорему Птолемея: произведение диагоналей четырёхугольника, вписанного в окружность, равно сумме произведений его противоположных сторон;
• найти группы Галуа Gal(C/R) и Gal(R).