Преподаватель: Д.А.Тимашёв

Занятия проходят в ауд. 14-13 по четвергам на 2-й паре (11:00-12:35) и по субботам на каждой чётной неделе на 1-й паре (9:00-10:35).

<fc #FF0000>Объявление:</fc> контрольная работа по темам первой половины семестра (системы линейных уравнений, векторы, матрицы, определители, подстановки) пройдёт на семинаре в субботу 7 ноября. На контрольной будет дано 6 задач.

Нумерация задач даётся по «Сборнику задач по алгебре» под ред. А.И.Кострикина, 3-е изд., Москва, Факториал, 2001. Дополнительные задачи помечены знаком ★.

Системы линейных уравнений (СЛУ). Метод Крамера решения квадратных СЛУ малых размеров (2×2 и 3×3). Определители 2-го и 3-го порядка.

• 8.6вд, 8.2е, 9.1гд, 9.2ж, 16.1а;
• решить методом Крамера систему линейных уравнений:
• 

Решение СЛУ методом Гаусса. Связь решений совместной СЛУ и ассоциированной однородной системы линейных уравнений (ОСЛУ). Критерии определённости совместной СЛУ и квадратной СЛУ: ассоциированная ОСЛУ должна быть определена. Задача интерполяции, теорема о полиномиальной интерполяции.

• 8.1вг, 8.2вг, 8.8;
• ★ найти явную формулу для интерполяционного многочлена.

Линейная зависимость, базис системы векторов (три эквивалентных определения), координаты вектора в базисе. Стандартный базис в R^n. Когда система векторов обладает единственным базисом? Алгоритм нахождения базиса конечной системы векторов в R^n.

• 6.4, 6.13, 6.14, 6.12авги, 7.19★.

Ранг матрицы, его свойства. Вычисление ранга матрицы.

• 7.1дл, 7.2аз, 7.6, 7.7, 7.10.

Фундаментальная система решений ОСЛУ. Арифметические операции над матрицами (сложение матриц, умножение матриц на числа, умножение матриц), их свойства, некоммутативность умножения матриц, Умножение на диагональные матрицы, нулевая и единичная матрицы.

• 8.4вг, 8.25★, 17.1бв, 17.4ав, 17.25, 19.26.

Делители нуля и нильпотентные матрицы, нильпотентность нильтреугольных матриц. Матричные единицы. Квадратные матрицы, коммутирующие со всеми матрицами того же размера, скалярны.

• 17.17, 17.18, 17.26, 19.14, 19.15.

Обратная матрица. Если матрица A нильпотентна, то матрицы E+A и E-A обратимы. Решение матричных уравнений вида AX=B. Нахождение обратной матрицы. Элементарные матрицы, умножение на них слева и справа.

• 18.3взи, 18.9кл, 18.17★, 19.3ав, 19.21.

Умножение подстановок. Разложение подстановки на независимые циклы, применение к возведению подстановок в степень. Решение уравнений в подстановках. Чётность и знак перестановок и подстановок.

• 3.1вг, 3.2аге, 3.3ав, 3.4аб, 3.6бвж, 3.13;
• решить уравнения в подстановках:
• 
• (задача о квартирном обмене) Несколько семей хотят обменяться квартирами. За один день каждая семья может принять участие не более чем в одном обмене квартирами с какой-нибудь другой семьей. Доказать, что любой сложный обмен можно осуществить не более чем за два дня.

Знак циклической подстановки. Задача про «пятнашки»: можно ли, последовательно передвигая фишки на соседнее свободное место, поменять местами фишки 14 и 15, оставив остальные фишки на месте? Можно ли, вращая слои куба Рубика на шарнирах, добиться того, чтобы угловые кубики одной из граней переставились по кругу, а остальные кубики остались на своих местах (возможно, повернувшись)?

Определители квадратных матриц, их вычисление по развёрнутой формуле. Поведение определителя при различных преобразованиях матрицы.

• 3.22, 10.4б, 11.1гд, 11.4, 16.2;
• можно ли, вращая слои куба Рубика на шарнирах, добиться того, чтобы один из боковых кубиков в нём перевернулся, а остальные остались на своих местах, не изменив положения?

Вычисление определителей приведением к треугольному виду и приведением к определителю Вандермонда. Разложение определителя по строке и столбцу.

• 13.1бвж, 13.2ежз, 14.1зкм★н, 12.2.

Вычисление определителей разложением по строке и столбцу. Трёхдиагональные определители и линейные однородные рекуррентные уравнения 2-го порядка.

• 12.3ези, 14.1где, 12.4, 4.5;
• вычислить определитель:
• 

Вычисление трёхдиагонального определителя в случае кратного корня характеристического уравнения. Определитель произведения матриц. Ранг произведения матриц, случай невырожденности одного из сомножителей. Ранг присоединённой матрицы.

• 7.11, 15.2бвг, 16.4, 16.19.

Кольца и поля вычетов. Решение СЛУ и квадратных уравнений над полями вычетов. Использование колец вычетов для решения диофантовых уравнений (примеры: 23x-17y=5, 3x²+2=y², 7x²+2=y³). Малая теорема Ферма. Обратимые элементы кольца вычетов, функция Эйлера, теорема Эйлера. Задача: последовательность k_1=2, k_{n+1}=2^{k_n} стабилизируется по модулю 7. Квадратичные вычеты, символ Лежандра.

• 66.20, 8.10б, 66.24вг, 66.23ав, 66.32;
• решить диофантовы уравнения: 41x-11y=19, 35x+21y=14, 15x²-7y²=9;
• доказать, что для любых a∈Z и m∈N последовательность k_1=a, k_{n+1}=a^{k_n} стабилизируется по модулю m;
• ★ доказать, что символ Лежандра элемента a∈Z_p равен знаку подстановки на множестве Z_p\{0}, задаваемой умножением на a.

1. Решение СЛУ в зависимости от параметра.
2. Нахождение ФСР и размерности пространства решений ОСЛУ (1 вариант); нахождение базиса системы векторов и выражение через него остальных векторов системы (2 вариант).
3. Нахождение обратной матрицы (1 вариант); решение матричного уравнения (2 вариант).
4. Вычисление определителя размера 4×4.
5. Вычисление определителя размера n×n.
6. Решение уравнения в подстановках (1 вариант); вычисление трёхдиагонального определителя (2 вариант).