Преподаватель: Куликова О.В.
Зачет 6 июня в 10:00 ауд. 464
Семинары проходят по вторникам в 13:15 в ауд. 404 и по субботам в 10:45 в ауд. 454.
Нумерация задач даётся по «Сборнику задач по алгебре» под ред. А.И.Кострикина, 3-е изд., Москва, Физматлит, 2001. Дополнительные задачи помечены знаком ★.
Темы задач на зачете
Ч.1
1) Определение векторного пространства и подпространства. Нахождение базиса и размерности.
2) Определение базиса. Нахождение матрицы перехода. Свойства матриц перехода. Изменение координат вектора при переходе к другому базису.
3) Сумма и пересечение подпространств. Нахождение их базиса и размерности. Прямая сумма.
4) Определение линейной функции. Координатная запись.
5) Нахождение сопряженного базиса.
6) Определение линейного оператора. Нахождение матрицы линейного оператора в заданном базисе. Образ и ядро линейного оператора.
7) Изменение матрицы линейного оператора при переходе к другому базису.
8) Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
9) Жорданова нормальная форма. Жорданов базис. Минимальный многочлен.
Ч.2
1) Билинейные функции. Квадратичные функции. Нормальный вид. Приведение к главным осям. Эквивалентность квадратичных функций над полем. Положительно и отрицательно определенные квадратичные функции.
2)Евклидово пространство. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Нахождение ортонормированного базиса.
3)Нахождение ортогональной проекции и ортогональной составляющей вектора на подпространство евклидова пространства, расстояние от вектора до подпространства и угол между вектором и подпространством
4) Линейные операторы в евклидовом пространстве. Сопряженный оператор.Самосопряженные и ортогональные линейные операторы. Приведение к каноническому виду. Полярное разложение.
5) Аффинные пространства. Плоскости и их размерность. Взаимное расположение плоскостей.
6)Приведение кривой и поверхности второго порядка к каноническому виду.
7)Аффинные преобразования. Движения.
8) Тензоры. Изменение при переходе к другому базису. Операции над тензорами
Темы КР№2
Билинейные и квадратичные функции
1) Квадратичные функции. Нормальный вид. Приведение к главным осям. Эквивалентность квадратичных функций над полем. Положительно и отрицательно определенные квадратичные функции.
Евклидово пространство
2)Процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Нахождение ортонормированного базиса.
3)Нахождение ортогональной проекции и ортогональной составляющей вектора на подпространство, расстояние от вектора до подпространства и угол между вектором и подпространством
Линейные операторы в евклидовом пространстве
4)Самосопряженные и ортогональные линейные операторы. Приведение к каноническому виду.
Аффинные пространства
5)Плоскости и их размерность. Взаимное расположение плоскостей.
6)Приведение кривой и поверхности второго порядка к каноническому виду.
7)Аффинные преобразования. Движения.
Тензоры
8)Изменение при переходе к другому базису
9)Операции над тензорами
Занятие №21 (18 апреля 2017)
Ортогональный оператор.
ДЗ: 45.14, 46.1, 46.3, 46.6 в, г
Занятие №19 (11 апреля 2017)
Коллоквиум
Занятие №18 (8 апреля 2017)
Ортогональная проекция и ортогональная составляющая. Сопряженный оператор. Самосопряженный оператор.
ДЗ:43.19б, 43.21а,б, 43.38а; 44.4, 44.7
Занятие №17 (4 апреля 2017)
Евклидовы пространства. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Ортогональное дополнение.
Занятие №16 (1 апреля 2017)
Нормальный вид квадратичной формы. Метод Лагранжа. Положительная определенность. Критерий Сильвестра.
Занятие №15 (28 марта 2017)
Билинейные функции. Преобразование матрицы билинейной функции при переходе к другому базису. Ранг и ядро билинейной функции. Невырожденные билинейные функции. Симметрические билинейные функции и квадратичные функции. Метод Якоби.
ДЗ: № 37.1 д, е, м, п, р, 37.6 а, 37.8 б, 37.12 б, 37.28, 38.1, 38.15 а, б, 38.8 б
Задача: а) Доказать, что для симметрической и кососимметрической билинейной функции левое ядро совпадает с правым. б) Привести пример билинейной функции в n-мерном пространстве, которая не является ни симметрической, ни кососимметрической, но для которой левое ядро совпадает с правым.
Занятие №14 (25 марта 2017)
Контрольная работа
Темы:
1) Определение векторного пространства и подпространства. Нахождение базиса и размерности.
2) Определение базиса. Нахождение матрицы перехода. Свойства матриц перехода. Изменение координат вектора при переходе к другому базису.
3) Сумма и пересечение подпространств. Нахождение их базиса и размерности. Прямая сумма.
4) Определение линейной функции. Координатная запись.
5) Нахождение сопряженного базиса.
6) Определение линейного оператора. Нахождение матрицы линейного оператора в заданном базисе. Образ и ядро линейного оператора.
7) Изменение матрицы линейного оператора при переходе к другому базису.
8) Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
9) Жорданова нормальная форма. Жорданов базис. Минимальный многочлен.
Занятие №13 (21 марта 2017)
Аннулирующие многочлены. Минимальный многочлен.
Занятие №12 (18 марта 2017)
Жорданов базис.
ДЗ: №41.10 б,г, 41.22 б, 41.21 а
Занятие №11 (14 марта 2017)
Корневые подпространства.
ДЗ: №40.35 б,в, 40.38, 41.7, 41.8, 41.9
Занятие №10 (11 марта 2017)
Нахождение жордановой нормальной формы (ЖНФ).
ДЗ: №41.1 б,ж,е,г,и,л, 41.18, 41.5
Занятие №9 (7 марта 2017)
Инвариантные подпространства. Подобные матрицы.
ДЗ: №40.24, 40.30, 40.32а, 40.17 и задачи из 2_107_.pdf
Занятие №7-8 (4 марта 2017)
Ранг линейного оператора. Собственные векторы и собственные значения. Диагонализируемость. Инвариантные подпространства.
ДЗ: №39.6, 39.8, 39.12а, 40.1б,в,д, 40.2, 40.15 а,в,е,д, 40.16г, 40.6, 40.28, 40.22
Занятие №6 (28 февраля 2017)
Линейные операторы. Образ и ядро линейного оператора. Матрица линейного оператора. Изменение матрицы линейного оператора при переходе к другому базису.
ДЗ: №39.1, 39.5, 39.15 д, з, л, н, 39.19 а, 39.20, 39.21, 39.16, 39.23, 39.7, 36.6
Занятие №5 (21 февраля 2017)
Сопряженный базис.
ДЗ: №36.10, 36.18, задачи №1, 2, 3а, 4а из _107_.pdf.
Занятие №4 (18 февраля 2017)
Линейные функции.Преобразование координат линейной функции. Сопряженной пространство.
ДЗ: №36.9, 36.11, 36.13, 36.14, 36.15, 36.16, 36.17а
Занятие №3 (14 февраля 2017)
Сумма и пересечение подпространств. Прямая сумма.
ДЗ: №35.12, 35.13, 35.14 б, в, 35.15 б, 35.17, 35.19, 35.22, 35.24
Занятие №2 (11 февраля 2017)
Повторение (ранг системы векторов, линейная оболочка). Подпространства. Способы задания подпространств.
Занятие №1 (7 февраля 2017)
Векторные пространства. Линейная зависимость. Базис. Размерность. Матрицы перехода. Преобразование координат вектора при переходе к другому базису.