Кафедра высшей алгебры

Вы посетили: » семинары_107_группа_весна_2017



      

Преподаватель: Куликова О.В.

Зачет 6 июня в 10:00 ауд. 464

Семинары проходят по вторникам в 13:15 в ауд. 404 и по субботам в 10:45 в ауд. 454.

Нумерация задач даётся по «Сборнику задач по алгебре» под ред. А.И.Кострикина, 3-е изд., Москва, Физматлит, 2001. Дополнительные задачи помечены знаком ★.


Темы задач на зачете

Ч.1

1) Определение векторного пространства и подпространства. Нахождение базиса и размерности.

2) Определение базиса. Нахождение матрицы перехода. Свойства матриц перехода. Изменение координат вектора при переходе к другому базису.

3) Сумма и пересечение подпространств. Нахождение их базиса и размерности. Прямая сумма.

4) Определение линейной функции. Координатная запись.

5) Нахождение сопряженного базиса.

6) Определение линейного оператора. Нахождение матрицы линейного оператора в заданном базисе. Образ и ядро линейного оператора.

7) Изменение матрицы линейного оператора при переходе к другому базису.

8) Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

9) Жорданова нормальная форма. Жорданов базис. Минимальный многочлен.

Ч.2

1) Билинейные функции. Квадратичные функции. Нормальный вид. Приведение к главным осям. Эквивалентность квадратичных функций над полем. Положительно и отрицательно определенные квадратичные функции.

2)Евклидово пространство. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Нахождение ортонормированного базиса.

3)Нахождение ортогональной проекции и ортогональной составляющей вектора на подпространство евклидова пространства, расстояние от вектора до подпространства и угол между вектором и подпространством

4) Линейные операторы в евклидовом пространстве. Сопряженный оператор.Самосопряженные и ортогональные линейные операторы. Приведение к каноническому виду. Полярное разложение.

5) Аффинные пространства. Плоскости и их размерность. Взаимное расположение плоскостей.

6)Приведение кривой и поверхности второго порядка к каноническому виду.

7)Аффинные преобразования. Движения.

8) Тензоры. Изменение при переходе к другому базису. Операции над тензорами


Темы КР№2

Билинейные и квадратичные функции

1) Квадратичные функции. Нормальный вид. Приведение к главным осям. Эквивалентность квадратичных функций над полем. Положительно и отрицательно определенные квадратичные функции.

Евклидово пространство

2)Процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Нахождение ортонормированного базиса.

3)Нахождение ортогональной проекции и ортогональной составляющей вектора на подпространство, расстояние от вектора до подпространства и угол между вектором и подпространством

Линейные операторы в евклидовом пространстве

4)Самосопряженные и ортогональные линейные операторы. Приведение к каноническому виду.

Аффинные пространства

5)Плоскости и их размерность. Взаимное расположение плоскостей.

6)Приведение кривой и поверхности второго порядка к каноническому виду.

7)Аффинные преобразования. Движения.

Тензоры

8)Изменение при переходе к другому базису

9)Операции над тензорами


Занятие №21 (18 апреля 2017)

Ортогональный оператор.

ДЗ: 45.14, 46.1, 46.3, 46.6 в, г


Занятие №19 (11 апреля 2017)

Коллоквиум


Занятие №18 (8 апреля 2017)

Ортогональная проекция и ортогональная составляющая. Сопряженный оператор. Самосопряженный оператор.

ДЗ:43.19б, 43.21а,б, 43.38а; 44.4, 44.7


Занятие №17 (4 апреля 2017)

Евклидовы пространства. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Ортогональное дополнение.


Занятие №16 (1 апреля 2017)

Нормальный вид квадратичной формы. Метод Лагранжа. Положительная определенность. Критерий Сильвестра.


Занятие №15 (28 марта 2017)

Билинейные функции. Преобразование матрицы билинейной функции при переходе к другому базису. Ранг и ядро билинейной функции. Невырожденные билинейные функции. Симметрические билинейные функции и квадратичные функции. Метод Якоби.

ДЗ: № 37.1 д, е, м, п, р, 37.6 а, 37.8 б, 37.12 б, 37.28, 38.1, 38.15 а, б, 38.8 б

Задача: а) Доказать, что для симметрической и кососимметрической билинейной функции левое ядро совпадает с правым. б) Привести пример билинейной функции в n-мерном пространстве, которая не является ни симметрической, ни кососимметрической, но для которой левое ядро совпадает с правым.


Занятие №14 (25 марта 2017)

Контрольная работа

Темы:

1) Определение векторного пространства и подпространства. Нахождение базиса и размерности.

2) Определение базиса. Нахождение матрицы перехода. Свойства матриц перехода. Изменение координат вектора при переходе к другому базису.

3) Сумма и пересечение подпространств. Нахождение их базиса и размерности. Прямая сумма.

4) Определение линейной функции. Координатная запись.

5) Нахождение сопряженного базиса.

6) Определение линейного оператора. Нахождение матрицы линейного оператора в заданном базисе. Образ и ядро линейного оператора.

7) Изменение матрицы линейного оператора при переходе к другому базису.

8) Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

9) Жорданова нормальная форма. Жорданов базис. Минимальный многочлен.


Занятие №13 (21 марта 2017)

Аннулирующие многочлены. Минимальный многочлен.


Занятие №12 (18 марта 2017)

Жорданов базис.

ДЗ: №41.10 б,г, 41.22 б, 41.21 а


Занятие №11 (14 марта 2017)

Корневые подпространства.

ДЗ: №40.35 б,в, 40.38, 41.7, 41.8, 41.9


Занятие №10 (11 марта 2017)

Нахождение жордановой нормальной формы (ЖНФ).

ДЗ: №41.1 б,ж,е,г,и,л, 41.18, 41.5


Занятие №9 (7 марта 2017)

Инвариантные подпространства. Подобные матрицы.

ДЗ: №40.24, 40.30, 40.32а, 40.17 и задачи из 2_107_.pdf


Занятие №7-8 (4 марта 2017)

Ранг линейного оператора. Собственные векторы и собственные значения. Диагонализируемость. Инвариантные подпространства.

ДЗ: №39.6, 39.8, 39.12а, 40.1б,в,д, 40.2, 40.15 а,в,е,д, 40.16г, 40.6, 40.28, 40.22


Занятие №6 (28 февраля 2017)

Линейные операторы. Образ и ядро линейного оператора. Матрица линейного оператора. Изменение матрицы линейного оператора при переходе к другому базису.

ДЗ: №39.1, 39.5, 39.15 д, з, л, н, 39.19 а, 39.20, 39.21, 39.16, 39.23, 39.7, 36.6


Занятие №5 (21 февраля 2017)

Сопряженный базис.

ДЗ: №36.10, 36.18, задачи №1, 2, 3а, 4а из _107_.pdf.


Занятие №4 (18 февраля 2017)

Линейные функции.Преобразование координат линейной функции. Сопряженной пространство.

ДЗ: №36.9, 36.11, 36.13, 36.14, 36.15, 36.16, 36.17а


Занятие №3 (14 февраля 2017)

Сумма и пересечение подпространств. Прямая сумма.

ДЗ: №35.12, 35.13, 35.14 б, в, 35.15 б, 35.17, 35.19, 35.22, 35.24


Занятие №2 (11 февраля 2017)

Повторение (ранг системы векторов, линейная оболочка). Подпространства. Способы задания подпространств.


Занятие №1 (7 февраля 2017)

Векторные пространства. Линейная зависимость. Базис. Размерность. Матрицы перехода. Преобразование координат вектора при переходе к другому базису.