| Предыдущая версия справа и слева
Предыдущая версия
Следующая версия
|
Предыдущая версия
|
семинары_108_группа_весна_2018 [28.03.2018 14:53]
timashev |
семинары_108_группа_весна_2018 [08.04.2025 16:43] (текущий)
|
| |
| Нумерация задач даётся по «//Сборнику задач по алгебре//» под ред. А.И.Кострикина, 3-е изд., Москва, Физматлит, 2001. Дополнительные задачи помечены знаком ★. | Нумерация задач даётся по «//Сборнику задач по алгебре//» под ред. А.И.Кострикина, 3-е изд., Москва, Физматлит, 2001. Дополнительные задачи помечены знаком ★. |
| |
| <fc #FF0000>**{{:коллоквиум_весна_2018.doc|Коллоквиум}}**</fc> по линейной алгебре пройдёт на семинаре в пятницу **30 марта 2018**. <fc #FF0000>**Контрольная работа**</fc> по пройдённому материалу пройдёт на семинаре в среду **4 апреля 2018**. | |
| |
| ---- | ---- |
| == Домашнее задание: == | == Домашнее задание: == |
| * 38.11б, 38.14а, 38.17б, 38.19, 38.21, 38.22а, 38.30. | * 38.11б, 38.14а, 38.17б, 38.19, 38.21, 38.22а, 38.30. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 30 марта 2018 === |
| | |
| | {{:коллоквиум_весна_2018.doc|Коллоквиум}} |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 4 апреля 2018 === |
| | |
| | == Контрольная работа == |
| | |
| | - Нахождение базиса и системы линейных уравнений для суммы двух подпространств, заданных системами линейных уравнений (//1 вариант//); нахождение размерности и базиса пересечения двух подпространств, заданных своими базисами (//2 вариант//). |
| | - Нахождение собственных векторов и жордановой нормальной формы линейного оператора. |
| | - Вычисление экспоненты матрицы (//1 вариант//) и многочлена от матрицы (//2 вариант//). |
| | - Приведение симметрической билинейной формы (//1 вариант//) и квадратичной формы (//2 вариант//) к каноническому виду. |
| | - Выяснение положительной определённости квадратичной формы в зависимости от значений параметра (//1 вариант//); выяснение эквивалентности двух квадратичных форм над полями **C** и **R** (//2 вариант//). |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 6 апреля 2018 === |
| | |
| | Евклидовы векторные пространства. Длина вектора, её свойства. Неравенство Коши–Буняковского. Ортогональность векторов, линейная независимость ортогональной системы ненулевых векторов. Обобщённая теорема Пифагора. Ортогональные и ортонормированные базисы, ортогональные системы координат. Ортогональное дополнение к подпространству, его свойства. Ортогональная проекция и ортогональная составляющая вектора относительно подпространства. Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Матрица и определитель Грама, их свойства. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 43.7г, 43.11, 43.12, 43.15в, 43.18а, 43.19бв, 43.27. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 11 апреля 2018 === |
| | |
| | Объём многомерного параллелепипеда в евклидовом пространстве. Вычисление объёма параллелепипеда, натянутого на одночлены 1, x, x², в пространстве многочленов со скалярным умножением (f|g)=∫fgdx (интеграл по [-1,1]). Расстояние между векторами в евклидовом пространстве, его свойства. Расстояние между вектором и подпространством. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 43.45а (при n=3, ★ при любом n), 43.36а (вычислить объём двумя способами), 43.37, 43.21б, 43.24. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 13 апреля 2018 === |
| | |
| | Угол между векторами, линейная независимость системы векторов с попарными углами π/3. Угол между вектором и подпространством. |
| | |
| | Ортогональные операторы и их матрицы, примеры: поворот плоскости и пространства, отражение относительно подпространства. Свойства ортогональных операторов: сохранение длин, расстояний. Всякая линейная изометрия евклидова пространства — ортогональный оператор. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 43.38б, 43.40, 43.41, 46.4, 46.12, 46.14; |
| | * ★ всякая изометрия евклидова пространства является композицией ортогонального оператора и сдвига. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 18 апреля 2018 === |
| | |
| | Свойства ортогональных операторов: сохранение углов, возможные собственные значения, ортогональность собственных подпространств, инвариантность ортогонального дополнения к инвариантному подпространству. Канонический вид матрицы ортогонального оператора, его нахождение. Комплексификация вещественных векторных пространств и линейных операторов, нахождение 2-мерного инвариантного подпространства для линейного оператора над **R**, не имеющего собственных векторов. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 46.6агж, 46.14; |
| | * привести к каноническому виду ортогональный оператор с матрицей |
| | * {{:staff:timashev:ort.jpg|}} |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 20 апреля 2018 === |
| | |
| | Соответствие между линейными операторами и билинейными функциями в евклидовом пространстве. Сопряжённый оператор, его матрица. Подпространство U инвариантно относительно оператора A ⇒ ортогональное дополнение к U инвариантно относительно сопряжённого оператора A*. Оператор A ортогонален ⇔ A* обратен к A. |
| | |
| | Симметрические (самосопряжённые) и кососимметрические операторы. Наличие собственного вектора и ортогональность собственных подпространств симметрического оператора. Канонический вид матрицы симметрического оператора, его нахождение. Приведение симметрических билинейных и квадратичных функций к главным осям. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 44.1бвгде, 44.2, 44.5, 44.7, 45.4гж, 45.18, 45.19деи. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 25 апреля 2018 === |
| | |
| | Неотрицательные и положительно определённые симметрические операторы, пример: A*·A, где A — произвольный оператор в евклидовом пространстве. Критерий неотрицательности и положительной определённости симметрического оператора в терминах собственных значений. Извлечение квадратного корня из неотрицательного и положительно определённого оператора. Полярное разложение невырожденного линейного оператора в евклидовом пространстве. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 45.12, 45.14, 45.15, 45.16бв; |
| | * всякая невырожденная вещественная матрица A представляется в виде A=U·D·V, где U и V — ортогональные матрицы, а D — диагональная матрица; |
| | * ★ у любого линейного оператора A (возможно, вырожденного) существуют (не обязательно единственные) полярные разложения в виде A=U·R=S·V, где U,V — ортогональные, а R,S — неотрицательные симметрические операторы. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 27 апреля 2018 === |
| | |
| | Аффинные пространства. Векторизация. Координаты в аффинном пространстве, замена координат. Плоскости в аффинном пространстве, способы их задания (опорная точка + направляющее подпространство, параметрический способ, аффинная оболочка, система линейных уравнений). Взаимное расположение плоскостей в аффинном пространстве, размерность аффинной оболочки их объединения и их пересечения, степень параллельности. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 49.3, 49.10б, 49.12, 49.16ав, 49.20а. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 4 мая 2018 === |
| | |
| | Задача: провести через точку прямую, пересекающую две плоскости. Евклидовы аффинные пространства: расстояние между точками, задача: может ли данная матрица быть матрицей расстояний между точками. Расстояние от точки до плоскости и между плоскостями в евклидовом аффинном пространстве. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 49.20бв, 51.2аг, 51.6а, 51.7в, 51.8, 51.14б, 51.15. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 11 мая 2018 === |
| | |
| | Аффинные отображения, достаточное условие наличия неподвижных точек. Движения евклидовых пространств, вектор скольжения. Классификация движений в размерностях 2 и 3, задача на геометрическое описание движения 2-мерной плоскости. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 49.27а, 49.28, 51.19, 51.20, 51.21, 51.23аб, 51.24авг. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 16 мая 2018 === |
| | |
| | Задача на геометрическое описание движения 3-мерного пространства. |
| | |
| | Квадратичные функции на аффинном пространстве, их координатная запись, расширенная матрица квадратичной функции. Квадратичные гиперповерхности (квадрики). Приведение квадратичной функции (квадрики) к каноническому или к нормальному виду и к главным осям. Различные типы квадрик (центральные и нецентральные, конические и неконические). Центр квадратичной функции (квадрики), его нахождение. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 52.4, 52.6авг, 52.16, 52.17, 52.19а, 52.20б, 52.21бв, 52.22суф. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 18 мая 2018 === |
| | |
| | Тензоры, примеры: тензоры малых валентностей, det. Операции над тензорами: сложение, умножение на скаляры, тензорное умножение. Компоненты тензора, тензорный базис, правило Эйнштейна. Операции над тензорами в координатах, разложимые тензоры. Преобразование компонент тензора при замене координат. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 47.1бв, 47.2, 47.3б, 47.4, 47.7ав; |
| | * ★ тензор det нельзя разложить в произведение тензоров меньших валентностей. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 23 мая 2018 === |
| | |
| | Свёртка тензора. Выражение различных операций линейной алгебры в терминах тензорного произведения и свёртки. Ковариантные и контравариантные тензоры, симметрические и кососимметрические тензоры, симметризация и альтернирование. Внешнее умножение внешних форм, его свойства, связь с определителями. Базис и размерность пространства внешних форм. Канонический вид кососимметрической билинейной функции, приведение к каноническому виду с помощью внешнего умножения (аналог метода Лагранжа). |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 47.9, 47.13б, 47.14, 48.14, 48.16, 37.33вг. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 25 мая 2017 === |
| | |
| | == Контрольная работа == |
| | |
| | - Ортогонализация системы векторов (//1 вариант//); вычисление объёма параллелепипеда (//2 вариант//). |
| | - Нахождение угла между вектором и подпространством (//1 вариант//); вычисление расстояния от точки до плоскости (//2 вариант//). |
| | - Приведение симметрической билинейной формы (//1 вариант//) и квадратичной формы (//2 вариант//) к главным осям. |
| | - Определение типа движения плоскости (//1 вариант//) и пространства (//2 вариант//) и его полное геометрическое описание. |
| | - Полярное разложение невырожденного линейного оператора. |
| | |
