| Предыдущая версия справа и слева
Предыдущая версия
Следующая версия
|
Предыдущая версия
|
семинары_110_группа_весна_2025 [20.02.2025 22:56]
timashev |
семинары_110_группа_весна_2025 [17.04.2025 19:00] (текущий)
timashev |
| |
| Занятия проходят **по понедельникам и четвергам** на **4**-й паре (15:00-16:35) в ауд. **407**. | Занятия проходят **по понедельникам и четвергам** на **4**-й паре (15:00-16:35) в ауд. **407**. |
| | |
| | <color #ed1c24>**Объявление:**</color> пересдача коллоквиума пройдёт в понедельник <color #ed1c24>21 апреля</color> на **5**-й паре (16:45-18:20). |
| |
| Нумерация задач даётся по «//Сборнику задач по алгебре//» под ред. А.И.Кострикина, новое изд., Москва, МЦНМО, 2009. Дополнительные задачи помечены знаком ★. | Нумерация задач даётся по «//Сборнику задач по алгебре//» под ред. А.И.Кострикина, новое изд., Москва, МЦНМО, 2009. Дополнительные задачи помечены знаком ★. |
| * доказать, что набор линейных функций (β<sub>0</sub>, …, β<sub>n</sub>) на пространстве V многочленов степени ≤ n над полем K зарактеристики 0, где β<sub>i</sub>(f) равно значению i-й производной многочлена f в точке t<sub>0</sub> ∈ K, образует базис пространства V*, найти сопряжённый ему базис в пространстве V и разложение произвольного многочлена f ∈ V по этому базису; | * доказать, что набор линейных функций (β<sub>0</sub>, …, β<sub>n</sub>) на пространстве V многочленов степени ≤ n над полем K зарактеристики 0, где β<sub>i</sub>(f) равно значению i-й производной многочлена f в точке t<sub>0</sub> ∈ K, образует базис пространства V*, найти сопряжённый ему базис в пространстве V и разложение произвольного многочлена f ∈ V по этому базису; |
| * (//кратная интерполяция//) доказать, что для любого набора попарно различных точек x<sub>1</sub>, …, x<sub>k</sub> на действительной прямой, любого набора натуральных чисел n<sub>1</sub>, …, n<sub>k</sub> и любого набора значений y<sub>ij</sub> (1≤i≤k, 0≤j<n<sub>i</sub>) существует единственный многочлен f степени < n<sub>1</sub>+…+n<sub>k</sub>, у которого значение j-й производной в точке x<sub>i</sub> равно y<sub>ij</sub> (при всех возможных i,j). | * (//кратная интерполяция//) доказать, что для любого набора попарно различных точек x<sub>1</sub>, …, x<sub>k</sub> на действительной прямой, любого набора натуральных чисел n<sub>1</sub>, …, n<sub>k</sub> и любого набора значений y<sub>ij</sub> (1≤i≤k, 0≤j<n<sub>i</sub>) существует единственный многочлен f степени < n<sub>1</sub>+…+n<sub>k</sub>, у которого значение j-й производной в точке x<sub>i</sub> равно y<sub>ij</sub> (при всех возможных i,j). |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 24 февраля 2025 === |
| | |
| | Аннулятор подпространства, его размерность. Совпадение второго аннулятора подпространства с этим подпространством в конечномерном случае. Задание подпространства однородной системой линейных уравнений ⇔ нахождение базиса аннулятора подпространства. Нахождение суммы и пересечения подпространств. |
| | |
| | Линейные отображения, их матрицы, запись линейного отображения в координатах. Преобразование матрицы линейного отображения при замене базисов. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 35.15в, 35.16б, 35.25, 36.2, 36.3, 36.4; |
| | * задать системой однородных линейных уравнений сумму подпространств U+W в 4-мерном пространстве V при условии, что подпространства U и W заданы с помощью ОСЛУ: |
| | * {{:staff:timashev:sub3.jpg|}} и {{:staff:timashev:sub4.jpg|}} |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 27 февраля 2025 === |
| | |
| | Ядро и образ линейного отображения. Канонический вид матрицы линейного отображения. Линейные операторы в векторном пространстве, их матрицы. Преобразование матрицы линейного оператора при замене базиса. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 36.6, 36.7, 36.8, 39.13★, 39.15гелн, 39.16, 39.19, 39.23. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 3 марта 2025 === |
| | |
| | Инвариантные подпространства линейного оператора. Собственные векторы и собственные значения. Характеристический многочлен, его коэффициенты. Собственные подпространства. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения. Диагонализуемые операторы, эквивалентные условия диагонализуемости. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 40.5, 40.7, 40.9, 40.15вге, 40.16ав, 40.24, 40.33★; |
| | * ★ доказать, что любой многочлен со старшим коэффициентом 1 является характеристическим многочленом некоторого линейного оператора. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 6 марта 2025 === |
| | |
| | Коммутирующие семейства диагонализуемых линейных операторов диагонализуемы одновременно. Проекторы. Корневые векторы и корневые подпространства линейного оператора, их свойства. Нахождение корневых подпространств. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 40.25, 40.27, 40.29, 40.35бг, 40.37, 40.38, 40.44★; |
| | * доказать, что линейный оператор R со свойством R²=E диагонализуем, и объяснить его геометрический смысл (такие линейные операторы называются __отражениями__). |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 10 марта 2025 === |
| | |
| | Нильпотентные операторы: жорданов базис, диаграммы Юнга. Жорданова нормальная форма (ЖНФ) линейного оператора, формулы для количества жордановых клеток с заданным собственным значением (всех и данного размера). Нахождение ЖНФ и жорданового базиса для линейного оператора. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 41.1агжим, 41.3, 41.5, 41.7, 41.10бвг. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 13 марта 2025 === |
| | |
| | Нахождение ЖНФ и жорданового базиса для линейного оператора. Критерий нильпотентности линейного оператора в терминах собственных значений. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 41.1аеж (найти жорданов базис), 41.13, 41.14★, 41.15, 41.18, 41.45, 15.3. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 17 марта 2025 === |
| | |
| | Вычисление циркулянта. Извлечение корней из линейных операторов и матриц. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 41.21, 41.47; |
| | * для каких вырожденных матриц A уравнение X<sup>m</sup> = A имеет решение? Сформулировать ответ в виде условия на ЖНФ матрицы A в зависимости от m. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 20 марта 2025 === |
| | |
| | Многочлены от линейных операторов и матриц. Аннулирующие многочлены, теорема Гамильтона–Кэли. Минимальный многочлен, его свойства и вычисление. Вычисление многочлена от линейного оператора (матрицы) нахождением остатка при делении на минимальный многочлен. Аналитические функции от линейных операторов и матриц, их вычисление с помощью интерполяционного многочлена. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 41.22, 41.27, 41.30, 41.33★, 42.19бгд, 42.20; |
| | * вычислить E + A<sup>2</sup> - A<sup>3</sup> - A<sup>5</sup> + A<sup>6</sup> + A<sup>8</sup> - … + A<sup>48</sup> + A<sup>50</sup>, где A — матрица вида |
| | * {{:staff:timashev:f.jpg|}} |
| | * вычислить экспоненту матрицы |
| | * {{:staff:timashev:so_2_.jpg|}}. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 24 марта 2025 === |
| | |
| | Билинейные функции, их запись в координатах (билинейные формы). Матрица билинейной функции, её преобразование при замене базиса. Дискриминант, невырожденные билинейные функции. Ранг билинейной функции. Классификация билинейных функций ранга ≤ 1. Симметрические и кососимметрические билинейные функции, разложение пространства билинейных функций в прямую сумму подпространств симметрических и кососимметрических функций. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 37.1джмопсту + 37.2 (для этих пунктов), 37.6, 37.25, 37.28, 37.30а★, 37.32. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 27 марта 2025 === |
| | |
| | Квадратичные функции, поляризация. Канонический вид симметрических билинейных и квадратичных функций, метод Лагранжа приведения к каноническому виду. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 38.15аб, 38.16б, 38.18бвгжк, 38.29, 38.33. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 31 марта 2025 === |
| | |
| | Метод Якоби приведения квадратичной фукнции к каноническому виду. Нормальный вид симметрических билинейных и квадратичных функций над полями **C** и **R**, закон инерции. Неотрицательные и положительно определённые квадратичные фукнции, критерий Сильвестра. Геометрический смысл индексов инерции. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 38.8б, 38.9, 38.11ав, 38.14а, 38.17б, 38.19, 38.21, 38.22а, 38.30. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 3 апреля 2025 === |
| | |
| | {{:staff:timashev:коллоквиум_лаг_2025_и_а_чубаров.pdf|Коллоквиум}} |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 7 апреля 2025 === |
| | |
| | == Контрольная работа == |
| | |
| | - Нахождение базиса и системы линейных уравнений для суммы двух подпространств, заданных системами линейных уравнений (//1 вариант//); нахождение размерности и базиса пересечения двух подпространств, заданных своими базисами (//2 вариант//). |
| | - Нахождение собственных векторов и жордановой нормальной формы линейного оператора. |
| | - Вычисление экспоненты матрицы (//1 вариант//) и многочлена от матрицы (//2 вариант//). |
| | - Приведение симметрической билинейной формы (//1 вариант//) и квадратичной формы (//2 вариант//) к каноническому виду. |
| | - Выяснение положительной определённости квадратичной формы в зависимости от значений параметра (//1 вариант//); выяснение эквивалентности двух квадратичных форм над полями **C** и **R** (//2 вариант//). |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 10 апреля 2025 === |
| | |
| | Евклидовы векторные пространства. Длина вектора, её свойства. Неравенство Коши–Буняковского. Ортогональность векторов, линейная независимость ортогональной системы ненулевых векторов. Обобщённая теорема Пифагора. Ортогональные и ортонормированные базисы, ортогональные системы координат. Ортогональное дополнение к подпространству, его свойства. Ортогональная проекция и ортогональная составляющая вектора относительно подпространства. Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Матрица и определитель Грама, их свойства. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 43.7аг, 43.11, 43.12, 43.15в, 43.18а, 43.19бв, 43.27. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 14 апреля 2025 === |
| | |
| | Объём многомерного параллелепипеда в евклидовом пространстве. Вычисление объёма параллелепипеда, натянутого на одночлены 1, x, … , x<sup>n</sup>, в пространстве многочленов со скалярным умножением (f|g)=∫fgdx (интеграл по [-1,1]) при n = 1, 2, 3. Расстояние между векторами в евклидовом пространстве, его свойства. Расстояние между вектором и подпространством. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 43.45а★, 43.36аб (вычислить объём двумя способами), 43.37, 43.21б, 43.24. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 17 апреля 2025 === |
| | |
| | Угол между векторами, линейная независимость системы векторов с попарными углами π/3. Угол между вектором и подпространством. |
| | |
| | Ортогональные операторы и их матрицы. Свойства ортогональных операторов: сохранение длин, расстояний, углов, возможные собственные значения, ортогональность собственных подпространств, инвариантность ортогонального дополнения к инвариантному подпространству. Канонический вид матрицы ортогонального оператора. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 43.38б, 43.40, 43.41, 46.4, 46.12, 46.14. |