Кафедра высшей алгебры

Вы посетили: • лекции_3_курс_фммф_весна_2025


Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
Следующая версия 		Предыдущая версия
семинары_110_группа_весна_2025 [10.03.2025 23:11]
timashev 		семинары_110_группа_весна_2025 [17.04.2025 19:00] (текущий)
timashev
Строка 4: Строка 4:
  
 Занятия проходят **по понедельникам и четвергам** на **4**-й паре (15:00-16:35) в ауд. **407**. Занятия проходят **по понедельникам и четвергам** на **4**-й паре (15:00-16:35) в ауд. **407**.
 +
 +<color #ed1c24>**Объявление:**</color> пересдача коллоквиума пройдёт в понедельник <color #ed1c24>21 апреля</color> на **5**-й паре (16:45-18:20).
  
 Нумерация задач даётся по «//Сборнику задач по алгебре//» под ред. А.И.Кострикина, новое изд., Москва, МЦНМО, 2009. Дополнительные задачи помечены знаком ★. Нумерация задач даётся по «//Сборнику задач по алгебре//» под ред. А.И.Кострикина, новое изд., Москва, МЦНМО, 2009. Дополнительные задачи помечены знаком ★.
Строка 99: Строка 101:
 == Домашнее задание: == == Домашнее задание: ==
   * 41.1агжим, 41.3, 41.5, 41.7, 41.10бвг.   * 41.1агжим, 41.3, 41.5, 41.7, 41.10бвг.
 +
 +----
 +
 +=== 13 марта 2025 ===
 +
 +Нахождение ЖНФ и жорданового базиса для линейного оператора. Критерий нильпотентности линейного оператора в терминах собственных значений.
 +
 +== Домашнее задание: ==
 +  * 41.1аеж (найти жорданов базис), 41.13, 41.14★, 41.15, 41.18, 41.45, 15.3.
 +
 +----
 +
 +=== 17 марта 2025 ===
 +
 +Вычисление циркулянта. Извлечение корней из линейных операторов и матриц.
 +
 +== Домашнее задание: ==
 +  * 41.21, 41.47;
 +  * для каких вырожденных матриц A уравнение X<sup>m</sup> = A имеет решение? Сформулировать ответ в виде условия на ЖНФ матрицы A в зависимости от m.
 +
 +----
 +
 +=== 20 марта 2025 ===
 +
 +Многочлены от линейных операторов и матриц. Аннулирующие многочлены, теорема Гамильтона–Кэли. Минимальный многочлен, его свойства и вычисление. Вычисление многочлена от линейного оператора (матрицы) нахождением остатка при делении на минимальный многочлен. Аналитические функции от линейных операторов и матриц, их вычисление с помощью интерполяционного многочлена.
 +
 +== Домашнее задание: ==
 +  * 41.22, 41.27, 41.30, 41.33★, 42.19бгд, 42.20;
 +  * вычислить E + A<sup>2</sup> - A<sup>3</sup> - A<sup>5</sup>  + A<sup>6</sup> + A<sup>8</sup> - …  + A<sup>48</sup> + A<sup>50</sup>, где A — матрица вида
 +  * {{:staff:timashev:f.jpg|}}
 +  * вычислить экспоненту матрицы
 +  * {{:staff:timashev:so_2_.jpg|}}.
 +
 +----
 +
 +=== 24 марта 2025 ===
 +
 +Билинейные функции, их запись в координатах (билинейные формы). Матрица билинейной функции, её преобразование при замене базиса. Дискриминант, невырожденные билинейные функции. Ранг билинейной функции. Классификация билинейных функций ранга ≤ 1. Симметрические и кососимметрические билинейные функции, разложение пространства билинейных функций в прямую сумму подпространств симметрических и кососимметрических функций. 
 +
 +== Домашнее задание: ==
 +  * 37.1джмопсту + 37.2 (для этих пунктов), 37.6, 37.25, 37.28, 37.30а★, 37.32.
 +
 +----
 +
 +=== 27 марта 2025 ===
 +
 +Квадратичные функции, поляризация. Канонический вид симметрических билинейных и квадратичных функций, метод Лагранжа приведения к каноническому виду.
 +
 +== Домашнее задание: ==
 +  * 38.15аб, 38.16б, 38.18бвгжк, 38.29, 38.33.
 +
 +----
 +
 +=== 31 марта 2025 ===
 +
 +Метод Якоби приведения квадратичной фукнции к каноническому виду. Нормальный вид симметрических билинейных и квадратичных функций над полями **C** и **R**, закон инерции. Неотрицательные и положительно определённые квадратичные фукнции, критерий Сильвестра. Геометрический смысл индексов инерции.
 +
 +== Домашнее задание: ==
 +  * 38.8б, 38.9, 38.11ав, 38.14а, 38.17б, 38.19, 38.21, 38.22а, 38.30.
 +
 +----
 +
 +=== 3 апреля 2025 ===
 +
 +{{:staff:timashev:коллоквиум_лаг_2025_и_а_чубаров.pdf|Коллоквиум}}
 +
 +----
 +
 +=== 7 апреля 2025 ===
 +
 +== Контрольная работа ==
 +
 +  - Нахождение базиса и системы линейных уравнений для суммы двух подпространств, заданных системами линейных уравнений (//1 вариант//); нахождение размерности и базиса пересечения двух подпространств, заданных своими базисами (//2 вариант//).
 +  - Нахождение собственных векторов и жордановой нормальной формы линейного оператора.
 +  - Вычисление экспоненты матрицы (//1 вариант//) и многочлена от матрицы (//2 вариант//).
 +  - Приведение симметрической билинейной формы (//1 вариант//) и квадратичной формы (//2 вариант//) к каноническому виду.
 +  - Выяснение положительной определённости квадратичной формы в зависимости от значений параметра (//1 вариант//); выяснение эквивалентности двух квадратичных форм над полями **C** и **R** (//2 вариант//).
 +
 +----
 +
 +=== 10 апреля 2025 ===
 +
 +Евклидовы векторные пространства. Длина вектора, её свойства. Неравенство Коши–Буняковского. Ортогональность векторов, линейная независимость ортогональной системы ненулевых векторов. Обобщённая теорема Пифагора. Ортогональные и ортонормированные базисы, ортогональные системы координат. Ортогональное дополнение к подпространству, его свойства. Ортогональная проекция и ортогональная составляющая вектора относительно подпространства. Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Матрица и определитель Грама, их свойства.
 +
 +== Домашнее задание: ==
 +  * 43.7аг, 43.11, 43.12, 43.15в, 43.18а, 43.19бв, 43.27.
 +
 +----
 +
 +=== 14 апреля 2025 ===
 +
 +Объём многомерного параллелепипеда в евклидовом пространстве. Вычисление объёма параллелепипеда, натянутого на одночлены 1, x, … , x<sup>n</sup>, в пространстве многочленов со скалярным умножением (f|g)=∫fgdx (интеграл по [-1,1]) при n = 1, 2, 3. Расстояние между векторами в евклидовом пространстве, его свойства. Расстояние между вектором и подпространством.
 + 
 +== Домашнее задание: ==
 +  * 43.45а★, 43.36аб (вычислить объём двумя способами), 43.37, 43.21б, 43.24.
 +
 +----
 +
 +=== 17 апреля 2025 ===
 +
 +Угол между векторами, линейная независимость системы векторов с попарными углами π/3. Угол между вектором и подпространством. 
 +
 +Ортогональные операторы и их матрицы. Свойства ортогональных операторов: сохранение длин, расстояний, углов, возможные собственные значения, ортогональность собственных подпространств, инвариантность ортогонального дополнения к инвариантному подпространству. Канонический вид матрицы ортогонального оператора.
 + 
 +== Домашнее задание: ==
 +  * 43.38б, 43.40, 43.41, 46.4, 46.12, 46.14.