Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- семинары_110_группа_осень_2024 [24.10.2024 18:00]
timashev
+++ семинары_110_группа_осень_2024 [08.04.2025 16:43] (текущий)
@@ Строка 5: / Строка 5: @@
 Занятия проходят на **3**-й паре (13:15-14:50) **по понедельникам** на каждой //чётной// неделе в ауд. **406** и **по четвергам** в ауд. **14-15**.
-<fc #FF0000>**Объявление:**</fc> **коллоквиум по алгебре** пройдёт на семинаре в четверг <fc #FF0000>31 октября</fc>.
+== Расписание зачётов: ==
+  * 18 декабря 2024, 9:00−12:00, ауд. 14-13
+  * 26 декабря 2024, 13:00−16:00, ауд. 14-03
+  * 28 декабря 2024, 9:00−12:00, ауд. 14-03
+== Экзамен: ==
+  * 24 января 2025, 10:00, ауд. 16-10
+== Консультация: ==
+  * 22 января 2025, 12:00, ауд. 13-27
 Нумерация задач даётся по «//Сборнику задач по алгебре//» под ред. А.И.Кострикина, новое изд., Москва, МЦНМО, 2009. Дополнительные задачи помечены знаком ★.
@@ Строка 28: / Строка 38: @@
 == Домашнее задание: ==
   * 8.1вг, 8.2вг, 8.8;
-  * доказать теорему о полиномиальной интерполяции: для любого набора n различных точек x_1, … , x_n и любого набора n (не обязательно различных) значений y_1, … , y_n существует единственный многочлен f(x) степени < n, принимающий в точках x_i значения y_i.
+  * доказать теорему о полиномиальной интерполяции: для любого набора n различных точек x<sub>1</sub>, … , x<sub>n</sub> и любого набора n (не обязательно различных) значений y<sub>1</sub>, … , y<sub>n</sub> существует единственный многочлен f(x) степени < n, принимающий в точках x<sub>i</sub> значения y<sub>i</sub>.
 ----
@@ Строка 34: / Строка 44: @@
 === 12 сентября 2024 ===
-Арифметическое векторное пространство **R**^n. Линейная зависимость и базис системы векторов.
+Арифметическое векторное пространство **R**<sup>n</sup>. Линейная зависимость и базис системы векторов.
 == Домашнее задание: ==
@@ Строка 47: / Строка 57: @@
 === 19 сентября 2024 ===
-Ранг системы векторов. Координаты вектора в базисе. Стандартный базис в **R**^n. Алгоритм нахождения базиса конечной системы векторов в **R**^n. Ранг матрицы, его свойства.
+Ранг системы векторов. Координаты вектора в базисе. Стандартный базис в **R**<sup>n</sup>. Алгоритм нахождения базиса конечной системы векторов в **R**<sup>n</sup>. Ранг матрицы, его свойства.
 == Домашнее задание: ==
@@ Строка 56: / Строка 66: @@
 === 23 сентября 2024 ===
-Вычисление ранга матрицы. Подпространства в **R**^n, примеры: линейная оболочка системы векторов, пространство решений ОСЛУ. Фундаментальная система решений ОСЛУ, её нахождение.
+Вычисление ранга матрицы. Подпространства в **R**<sup>n</sup>, примеры: линейная оболочка системы векторов, пространство решений ОСЛУ. Фундаментальная система решений ОСЛУ, её нахождение.
 == Домашнее задание: ==
@@ Строка 86: / Строка 96: @@
 === 7 октября 2024 ===
-Обратная матрица к произведению матриц, к транспонированной матрице. Задача: как изменится A^{-1}, если записать строки матрицы A в обратном порядке?
+Обратная матрица к произведению матриц, к транспонированной матрице. Задача: как изменится A<sup>-1</sup>, если записать строки матрицы A в обратном порядке?
 Перестановки и подстановки, их количество. Умножение подстановок. Циклические подстановки, разложение произвольной подстановки на независимые циклы, применение к возведению подстановок в степень.
@@ Строка 92: / Строка 102: @@
 == Домашнее задание: ==
   * 3.1вг, 3.2аге, 3.3ав, 3.13;
-  * как изменится A^{-1}, если матрицу A подвергнуть одному из следующих преобразований:
+  * как изменится A<sup>-1</sup>, если матрицу A подвергнуть одному из следующих преобразований:
       * транспонировать относительно побочной диагонали;
       * повернуть на 90º против часовой стрелки?
@@ Строка 139: / Строка 149: @@
   * вычислить определитель:
   * {{:staff:timashev:3-diag-nst.jpg|}}
+----
+=== 31 октября 2024 ===
+{{:вопросы_к_коллоквиуму_1курс2поток_2024_.pdf|Коллоквиум}}
+----
+=== 7 ноября 2024 ===
+== Контрольная работа ==
+  - Решение СЛУ в зависимости от параметра.
+  - Нахождение ФСР и размерности пространства решений ОСЛУ (//1 вариант//); нахождение базиса системы векторов и выражение через него остальных векторов системы (//2 вариант//).
+  - Решение матричного уравнения (//1 вариант//); нахождение обратной матрицы (//2 вариант//).
+  - Вычисление определителя размера 4×4.
+  - Вычисление определителя размера n×n.
+  - Вычисление трёхдиагонального определителя (//1 вариант//); решение уравнения в подстановках (//2 вариант//).
+----
+=== 14 ноября 2024 ===
+Вычисления над комплексными числами в алгебраической форме. Геометрическая интерпретация комплексных чисел, решение алгебраических задач геометрическими методами (пример: уравнение |(z-1+i)/(z+1-i)|=1) и геометрических задач методами алгебры комплексных чисел (пример: доказательство теоремы о том, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон).
+Тригонометрическая форма записи комплексных чисел, вычисления над комплексными числами в тригонометрической форме. Выражение тригонометрических функций кратных углов через функции исходного угла и степеней тригонометрических функций через функции кратных углов в первой степени с помощью комплексных чисел.
+== Домашнее задание: ==
+  * 20.1еж, 21.2бж, 21.9аг, 21.10, 21.12, 21.13г;
+  * доказать с помощью комплексных чисел //теорему Птолемея//: произведение диагоналей четырёхугольника, вписанного в окружность, равно сумме произведений его противоположных сторон.
+----
+=== 18 ноября 2024 ===
+Извлечение корней из комплексных чисел. Корни из 1, сумма и произведение всех корней степени n из 1. Вычисление сумм с помощью комплексных чисел.
+== Домашнее задание: ==
+  * 22.7еипр, 22.8а, 22.9а, 22.17аб, 22.22★, 23.1вг, 23.2аг.
+----
+=== 21 ноября 2024 ===
+Многочлены от одной переменной над полем: деление с остатком, теорема Безу, схема Горнера. Разложение многочлена по степеням линейного двучлена, значения высших производных и кратность корня многочлена, формула Тейлора.
+== Домашнее задание: ==
+  * 25.1б, 26.1бв, 26.2бв, 26.3бв, 26.4, 26.6, 26.7аб, 26.11★.
+----
+=== 2 декабря 2024 ===
+Разложение многочленов на неприводимые множители. Наибольший общий делитель (НОД) многочленов и алгоритм Евклида. Линейное выражение НОД через исходные многочлены: НОД(f,g)=uf+vg, его единственность при ограничениях на степени u и v, и его нахождение методом неопределённых коэффициентов. Избавление от кратных неприводимых множителей в разложении многочлена.
+== Домашнее задание: ==
+  * 25.2вг, 25.3б, 25.5б, 25.7б, 25.8б;
+  * найти НОД многочленов x<sup>n</sup>-1 и x<sup>m</sup>-1.
+----
+=== 5 декабря 2024 ===
+Разложение многочленов на неприводимые множители над полями **C** и **R**. Неприводимых многочленов над любым полем бесконечно много. Существование неприводимых многочленов сколь угодно большой степени над конечным полем. Алгоритм нахождения всех неприводимых многочленов степени ≤n над конечным полем. Нахождение всех неприводимых многочленов степени ≤4 над полем **Z**<sub>2</sub>.
+== Домашнее задание: ==
+  * 27.1ад, 27.2бгде, 27.6, 27.7, 27.12, 27.14★;
+  * найти все неприводимые многочлены степени 5 над полем **Z**<sub>2</sub>;
+  * найти все неприводимые многочлены степени ≤3 со старшим коэффициентом 1 над полем **Z**<sub>3</sub>;
+  * найти количество неприводимых многочленов степени 4 со старшим коэффициентом 1 над полем **Z**<sub>3</sub>.
+----
+=== 12 декабря 2024 ===
+Рациональные корни многочлена с целыми или рациональными коэффициентами. Редукция многочленов с целыми коэффициентами по простому модулю, её свойства. Примитивные многочлены, лемма Гаусса. Разложимость многочлена с целыми коэффициентами на множители меньшей степени в **Q**[x] равносильна разложимости на множители меньшей степени в **Z**[x]. Разложение многочленов на множители над **Q** с помощью редукций.
+Рациональные дроби: представление в виде суммы многочлена и правильной дроби, разложение правильной дроби в сумму простейших дробей методом неопределённых коэффициентов, случай полей **C** и **R**.
+== Домашнее задание: ==
+  * 28.1в, 28.2бвж, 28.8, 28.9, 29.1бе, 29.2аги, 29.3;
+  * разложить на неприводимые множители над **Q**:
+    * 3x<sup>5</sup>-2x<sup>4</sup>+5x<sup>3</sup>-4x<sup>2</sup>-5x-1,
+    * 2x<sup>4</sup>-3x<sup>3</sup>+5x<sup>2</sup>+8x-5,
+    * 3x<sup>4</sup>-x<sup>3</sup>+5x<sup>2</sup>+8x-7;
+  *★ доказать, что многочлен x<sup>4</sup>-10x<sup>2</sup>+1 неприводим над **Q**, но его редукция по любому простому модулю p приводима над **Z**<sub>p</sub>.
+----
+=== 14 декабря 2024 ===
+Многочлены от нескольких переменных, степень одночлена и многочлена, однородные компоненты многочлена. Лексикографический порядок на одночленах, старший член многочлена, старший член произведения многочленов. Симметрические многочлены: основная теорема, метод неопределённых коэффициентов для нахождения выражения произвольного симметрического многочлена через элементарные. Выражение степенных сумм s<sub>1</sub>, s<sub>2</sub>, s<sub>3</sub>, s<sub>4</sub> через элементарные симметрические многочлены. Теорема Виета. Решение симметрических систем алгебраических уравнений.
+== Домашнее задание: ==
+  * 31.2, 31.5, 31.9авер, 31.15★, 31.21а, 31.25.
+----
+=== 16 декабря 2024 ===
+== Контрольная работа ==
+  - Возведение в степень (//1 вариант//) и извлечение корней (//2 вариант//) в поле **C**.
+  - Нахождение НОД двух многочленов и его линейного выражения через эти многочлены.
+  - Разложение многочлена по степеням линейного двучлена, вычисление значений высших производных (//1 вариант//) и определение кратности корня (//2 вариант//).
+  - Разложение многочлена на неприводимые множители над полем  **R** (//1 вариант//) и **Q** (//2 вариант//).
+  - Разложение рациональной дроби в сумму многочлена и простейших дробей над полем **R** (//1 вариант//) и **C** (//2 вариант//).
+  - Выражение симметрического многочлена через элементарные симметрические многочлены.