Семинары по алгебре группы 114, осень 2022
Преподаватель: Куликова О.В.
Семинары проходят по понедельникам четных недель в 15:00 в ауд.14-14 и четвергам в 15:00 в ауд. 14-14
Нумерация задач даётся по «Сборнику задач по алгебре» под ред. А.И.Кострикина, 2-е изд., Москва, Физматлит, 2015.
Темы задач на зачете (расшифровка таблицы):
1) Неоднородные СЛАУ
2) Однородные СЛАУ
3) Операции над матрицами
4) Обратные матрицы
5) Линейная зависимость системы векторов
6) Определители
7) Ранг матрицы
8) Возведение в степень, извлечение корней из комплексных чисел
9) Определение группы
10) Правило Крамера
11) Нахождение НОД двух многочленов и выражения НОД через эти многочлены
12) Разложение на неприводимые множители над полем вещественных чисел
13) Разложение на неприводимые множители над полем комплексных чисел
14) Нахождение рациональных корней над полем рациональных чисел, проверка неприводимости.
15) Разложение правильной дроби в сумму простейших над полем вещественных чисел
16) Разложение правильной дроби в сумму простейших над полем комплексных чисел
17) Представление симметрического многочлена в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов. Формулы Виета. Нахождение значения симметрического многочлена от корней заданного многочлена.
18) Подстановки. Операции над подстановками. Разложение на независимые циклы, транспозиции. Возведение в степень
19) Определение четности подстановки.
20) Кратность корней многочлена
21) Определение кольца.
Занятие №1 (5 сентября 2022)
Определители 2-го и 3-го порядка. Свойства. Разложение по строке (по столбцу).
Домашнее задание: 9.1 (в,г, д), 9.2 (б,в,д,е), 11.5, 12.1, 16.1 (б)
Занятие №2 (8 сентября 2021)
1) Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Расширенная матрица. Лидер строки. Ступенчатый и улучшенный ступенчатый вид. Метод Гаусса.
2) Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Правило Крамера.
Домашнее задание: 1) 8.1 (б,в,г), 8.2 (в,г,з,е), 2) 8.6 (б,в,г)
Занятие №3 (13 сентября 2022)
Векторное пространство (вещественное). Линейная комбинация. Линейная зависимость систем векторов. Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем. Критерий линейной зависимости. Основная лемма о линейной зависимости.
Домашнее задание: 6.2 (б), 6.3 (б,д), 6.4, 6.5, 6.7 (б,д), 6.8, 6.9 (б,д)
Занятие №4 (19 сентября)
Векторное подпространство. Линейная оболочка. База и ранг системы векторов. Алгоритм нахождения базиса и ранга конечной системы векторов и линейных выражений всех векторов системы через найденный базис.
Домашнее задание: 6.11, 6.12 (б,г,д), 6.10 (б,д), 6.13
Занятие №5 (22 сентября)
Алгоритм нахождения базиса и размерности линейной оболочки.
Ранг матрицы=ранг строк=ранг столбцов. Метод элементарных преобразований.
Домашнее задание: 35.11, 7.1 б, к, л (только ЭП), 7.2 д, е, з, ж, 7.3, 7.5
Занятие №7 (3 октября)
Матричные единицы.
Занятие №8 (6 октября)
Ранг и операции над матрицами.
Обратные матрицы.
Занятие №9 (13 октября)
Перестановки. Четность.
Определители (определение, свойства).
Занятие №10 (17 октября)
Определители (разложение по строке, столбцу, определитель произведения матриц).
Занятие №11 (20 октября)
Метод рекуррентных соотношений.
Метод присоединенной матрицы для нахождения обратной матрицы.
Метод окаймляющих миноров для нахождения ранга матрицы.
Занятие №12 (27 октября)
Коллоквиум
Занятие 13 (31 октября)
КР
Занятие №14 (3 ноября чт)
1) Бинарная операция. Ассоциативность, коммутативность, нейтральный элемент, обратный элемент.
2) Определение группы (группоид, полугруппа, моноид)
3) Симметрическая группа. Табличная форма записи. Разложение на независимые циклы.
Домашнее задание:
1) 54.1 (а,б,в), 54.3
2) 55.1 (д, е), 55.3, 55.6 (а-с)
3) 3.1, 3.2, 3.3, 3.4
Занятие №15 (10 ноября чт)
Четность подстановок. Транспозиции.
Комплексные числа. Алгебраическая форма.
Занятие №16 (14 ноября пн)
1) Комплексные числа (тригонометрическая форма)
2) Определение кольца. Делители нуля. Обратимые
Домашнее задание: 1) 21.1 г,и,ф,х, 21.2 а,б,ж,з, 22.7 б,в,п, 23.2 в, 23.1 а, 24.6 ж,м,н,п
2) 63.1 (л,м,з,к), 63.2 (а-г), 63.3 (а,б), 63.7+63.8 (для указанных пунктов)
Занятие №17 (17 ноября чт)
Кольца. Поля
Занятие №18 (24 ноября чт)
Алгоритм Евклида. Кратность корней
Занятие №19 (28 ноября пн)
Неприводимые многочлены.
Занятие №20 (1 декабря чт)
1)Избавление от кратных множителей.
2) Рациональные дроби.
Домашнее задание: 25.8 а, 29.1 (б, в,г,и), 29.2 (а-д), 29.3
Занятие №21 (8 декабря чт)
Симметрические многочлены.
Занятие №22 (12 декабря пн)
1) Формулы Виета
2) Гомоморфизмы и изоморфизмы групп
Занятие №23 (15 декабря чт)
КР2