Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- семинары_201_группа_осень_2017 [08.09.2017 21:13]
timashev
+++ семинары_201_группа_осень_2017 [08.04.2025 16:43] (текущий)
@@ Строка 5: / Строка 5: @@
 Занятия проходят **по пятницам** на **4**-й паре (15:00-16:35) в ауд. **454**.
-Нумерация задач даётся по «//Сборнику задач по алгебре//» под ред. А.И. Кострикина, 3-е изд., Москва, Физматлит, 2001. Дополнительные задачи помечены знаком ★.
+Нумерация задач даётся по «//Сборнику задач по алгебре//» под ред. А.И. Кострикина, новое изд., Москва, МЦНМО, 2009. Дополнительные задачи помечены знаком ★.
 ----
@@ Строка 27: / Строка 27: @@
 == Домашнее задание: ==
-  * 57.29, 57.30б, 57.36, 58.19б, 58.22, 58.23агж.
+  * 57.29, 57.30б, 57.36, 58.20б, 58.23, 58.24агж.
+----
+=== 15 сентября 2017 ===
+Сопряжённость в группе A_n. Нормальные подгруппы в группах S_3, S_4. Вычисление факторгрупп непосредственно и с помощью основной теоремы о гомоморфизмах.
+== Домашнее задание: ==
+  * 58.3, 58.4б, 58.10★, 58.11а, 58.32де, 58.33ге.
+----
+=== 22 сентября 2017 ===
+Автоморфизмы групп, примеры: Aut(Aut(Aut **Z**_9)), Aut S_3. Прямое произведение (прямая сумма) групп, примеры разложений и неразложимости групп в прямые произведения (прямые суммы).
+== Домашнее задание: ==
+  * 57.39а, 57.40б, 57.41б, 57.43★, 57.44★, 58.43, 60.2бвг, 60.5ав, 60.7, 60.8б.
+----
+=== 29 сентября 2017 ===
+Конечно порождённые и не конечно порождённые абелевы группы, примеры. Структура конечно порождённых абелевых групп, её определение, исходя из представления группы в виде факторгруппы свободной группы по подгруппе, заданной набором порождающих элементов, приведением целочисленной матрицы координат порождающих элементов подгруппы к "диагональному" виду. Вычисление порядка элемента в конечно порождённой абелевой группе, представленной как факторгруппа свободной группы. Критерий конечности факторгруппы свободной абелевой группы.
+== Домашнее задание: ==
+  * 60.32, 60.50, 60.52агд, 60.53, 60.54;
+  * Являются ли конечно порождёнными следующие группы:
+    - группа рациональных дробей m/n, у которых простые делители n содержатся среди {p_1,…,p_s}, с операцией сложения;
+    - группа рациональных дробей m/n≠0, у которых простые делители m и n содержатся среди {p_1,…,p_s}, с операцией  умножения;
+  * доказать две формулы для объёма целочисленного n-мерного параллелепипеда П:
+    - vol(П) = число целых точек в П, не лежащих на его гранях, не содержащих данную вершину 0;
+    - vol(П) = ∑ (1/2^k)⋅(число целых точек внутри всех (n-k)-мерных граней П), где суммирование ведётся по k=0,1,…,n;
+  * доказать формулу Пика для площади целочисленного многоугольника P:
+  * S(P) = (число целых точек внутри P)+½⋅(число целых точек на периметре P)-1.
+----
+=== 6 октября 2017 ===
+Конечные абелевы группы, их структура, тип группы. Классификация конечных абелевых групп заданного порядка. Определение типа факторгруппы конечной (или конечно порождённой) абелевой группы. Вложимость конечных абелевых групп друг в друга.
+== Домашнее задание: ==
+  * 60.39ежз, 60.40ав, 60.42, 60.43а, 60.45.
+----
+=== 13 октября 2017 ===
+Количество подгрупп заданного порядка в данной конечной абелевой группе. Действия групп на множествах, описание орбит и стабилизаторов. Пять правильных многогранников (платоновы тела), двойственность между ними. Группы движений двойственных многогранников совпадают. Группа вращений тетраэдра.
+== Домашнее задание: ==
+  * 60.43бв, 57.1абв, 57.3, 57.9бв, 57.12в, 57.13ав★, 58.36, 58.37.
+----
+=== 20 октября 2017 ===
+Теоретико-групповое определение и классификация правильных многогранников. Формула Бернсайда для числа орбит действия конечной группы на конечном множестве. Действие группы на себе сопряжениями: классы сопряжённости и централизаторы, число элементов в классе сопряжённости, формула классов.
+== Домашнее задание: ==
+  * 57.23б, 57.25, 57.31, 58.44;
+  * сколько существует различных игральных костей? (игральная кость — это кубик, на каждой грани которого написана цифра от 1 до 6, причём цифры могут повторяться);
+  * доказать формулу Эйлера для правильного многогранника с помощью формулы Бернсайда, рассмотрев действие группы вращений многогранника на множестве точек описанной сферы с нетривиальным стабилизатором.
+----
+=== 27 октября 2017 ===
+Коммутант группы, его свойства. Вычисление коммутанта группы G методом оценки сверху (ядро гомоморфизма G в абелеву группу) и снизу (подгруппа, порождённая некоторым количеством коммутаторов). Кратные коммутанты, разрешимые группы, критерий разрешимости (в терминах подгруппы и факторгруппы).
+== Домашнее задание: ==
+  * 62.7г, 62.8б, 62.11в, 62.13, 62.15, 58.38;
+  * доказать, что -E не является коммутатором в группе SL_2(**R**);
+  * вычислить производный ряд для группы, состоящей из невырожденных действительных матриц вида
+  * {{:staff:timashev:commutant.jpg|}}
+----
+=== 3 ноября 2017 ===
+Силовские подгруппы, теоремы Силова.
+== Домашнее задание: ==
+  * 59.1, 59.3, 59.4, 59.8, 59.13, 59.14.
+----
+=== 10 ноября 2017 ===
+{{:staff:timashev:colloq3.pdf|Коллоквиум}}
+----
+=== 17 ноября 2017 ===
+Полупрямые произведения групп, примеры: разложения S_n и D_n в полупрямое произведение. Арифметика конечных групп: доказательство непростоты и разрешимости групп заданного порядка (80, 12).
+== Домашнее задание: ==
+  * 59.22ав, 59.24, 62.18авгде★, 62.22★, 62.23★;
+  * какие из групп в 60.2бг можно разложить в полупрямое произедение?
+  * разложить GL_n(K) в полупрямое произведение.
+----
+=== 24 ноября 2017 ===
+Арифметика конечных групп: доказательство коммутативности групп заданного порядка (455), классификация групп порядка ≤10.
+Линейные и матричные представления групп, в том числе представление в пространстве функций на множестве с действием группы. Приводимые и вполне приводимые представления, разложение в прямую сумму неприводимых представлений. Нахождение инвариантных подпространств и доказательство неприводимости (пример: мономиальное представление группы A_n при n≥5). Теорема Машке. Описание неприводимых комплексных представлений конечных абелевых групп (пример: V_4).
+== Домашнее задание: ==
+  * 59.20вг, 69.2, 69.7, 69.9, 69.11, 70.2жз, 70.10;
+  * доказать, что любая неабелева группа порядка 8 изоморфна либо Q_8, либо D_4;
+  * разложить мономиальное представление группы A_n при n=3,4 над полем **C** на неприводимые слагаемые.
+----
+=== 1 декабря 2017 ===
+Описание одномерных комплексных представлений конечных групп (пример: S_3×D_5). Факты о количестве и размерностях неприводимых комплексных представлений конечной группы. Описание всех неприводимых комплексных представлений группы D_n.
+Структурные константы алгебры. Классификация двумерных комплексных алгебр с единицей.
+== Домашнее задание: ==
+  * 70.34бге, 70.37б, 70.39, 63.21б, 63.22а;
+  * описать все одномерные комплексные представления группы A_4×D_4;
+  * описать все неприводимые комплексные представления групп Q_8 и A_4×**Z**_3.
+----
+=== 8 декабря 2017 ===
+Идеалы, главные идеалы, кольца главных идеалов. Факторалгебры K[x]/(f), их свойства, вычисления в K[x]/(f). Присоединение корня, избавление от иррациональности в знаменателе. Минимальный многочлен.
+== Домашнее задание: ==
+  * 64.8б, 64.2а, 64.43, 67.3бгдеж, 67.12;
+  * представить выражение (a²-3a-1)/(a²+2a+1) в виде многочлена от a наименьшей возможной степени с рациональными коэффициентами, где a∈**C** — корень многочлена x³+x²+3x+4.
+----
+=== 15 декабря 2017 ===
+== Контрольная работа ==
+  - Вычисление факторгруппы свободной абелевой группы и нахождение в ней количества элементов заданного порядка (//1 вариант//) и порядка заданного элемента (//2 вариант//).
+  - Описание орбит действия группы на множестве (//1 вариант//); нахождение централизатора элемента группы подстановок и количества элементов в его классе сопряжённости (//2 вариант//).
+  - Описание силовских подгрупп в группе (//1 вариант//); доказательство коммутативности группы заданного порядка (//2 вариант//).
+  - Доказательство разрешимости группы заданного порядка (//1 вариант//); вычисление производного ряда группы (//2 вариант//).
+  - Описание одномерных комплексных представлений группы.
+  - Избавление от иррациональности в знаменателе выражения в поле, получаемом присоединением корня неприводимого многочлена к полю **Z**_3 (//1 вариант//) и **C** (//2 вариант//).