| Предыдущая версия справа и слева
Предыдущая версия
Следующая версия
|
Предыдущая версия
|
семинары_205_группа_осень_2025 [01.09.2025 13:25]
timashev |
семинары_205_группа_осень_2025 [24.11.2025 18:06] (текущий)
timashev |
| **Преподаватель:** [[staff:timashev|Д.А. Тимашёв]] | **Преподаватель:** [[staff:timashev|Д.А. Тимашёв]] |
| |
| Занятия проходят **по понедельникам** на **1**-й паре (9:00-10:35) в ауд. **14-05**. | Занятия проходят **по понедельникам** на **1**-й паре (9:00-10:35) в ауд. <del>14-05</del> <color #ed1c24>**15-03**</color>. |
| | |
| | <color #ed1c24>**Объявления:**</color> |
| | * <color #ed1c24>пересдача коллоквиума</color> по алгебре пройдёт в четверг **27 ноября** на **5**-й паре (16:45-18:20), ауд. **16-04**; |
| | * занятие с понедельника **1 декабря** <color #ed1c24>переносится</color> на четверг **11 декабря**, **1**-я пара (9:00-10:35). |
| |
| Нумерация задач даётся по «//Сборнику задач по алгебре//» под ред. А.И. Кострикина, новое изд., Москва, МЦНМО, 2009. Дополнительные задачи помечены знаком ★. | Нумерация задач даётся по «//Сборнику задач по алгебре//» под ред. А.И. Кострикина, новое изд., Москва, МЦНМО, 2009. Дополнительные задачи помечены знаком ★. |
| == Домашнее задание: == | == Домашнее задание: == |
| * 55.16, 55.25абг, 55.26, 56.7, 56.10, 56.11; | * 55.16, 55.25абг, 55.26, 56.7, 56.10, 56.11; |
| * какие из групп изоморфны: аддитивная группа поля рациональных чисел, его мультипликтивная группа, группа положительных рациональных чисел (по умножению)? | * какие из групп изоморфны: аддитивная группа поля рациональных чисел, его мультипликативная группа, группа положительных рациональных чисел (по умножению)? |
| * изоморфны ли группы GL<sub>2</sub>(**C**) и GL<sub>3</sub>(**C**)? | * изоморфны ли группы GL<sub>2</sub>(**C**) и GL<sub>3</sub>(**C**)? |
| |
| | ---- |
| | |
| | === 8 сентября 2025 === |
| | |
| | Теорема Лагранжа и её следствия о порядках элементов в конечных группах. Проблема классификации конечных групп, группы простого порядка. Сопряжённость элементов в группе, классы сопряжённости, центр группы. Вычисление классов сопряженности и центра для групп Q<sub>8</sub> и S<sub>n</sub>. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * доказать, что любая группа порядка 4 изоморфна либо **Z**<sub>4</sub> либо V<sub>4</sub>; |
| | *★ доказать, что любая группа порядка 6 изоморфна либо **Z**<sub>6</sub> либо S<sub>3</sub>; |
| | * описать классы сопряжённости в группе D<sub>n</sub>. |
| | * 57.29, 57.30б, 57.36, 58.20бв, 58.23, 58.24агж. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 15 сентября 2025 === |
| | |
| | Вычисление классов сопряженности и центра для группы D<sub>n</sub>. Нормальные подгруппы, их перечисление в группах S<sub>3</sub> и S<sub>4</sub>. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 58.1абд, 58.2, 58.3, 58.4б, 58.10, 58.11а, 58.12. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 22 сентября 2025 === |
| | |
| | Факторгруппы. Гомоморфизмы, их ядра и образы. Основная теорема о гомоморфизмах, вычисление факторгрупп с её помощью. Автоморфизмы групп, группа внутренних автоморфизмов Inn(G), её нормальность в Aut(G), группа внешних автоморфизмов Out(G). Автоморфизмы циклических групп, вычисление Aut(Aut(Aut **Z**<sub>9</sub>)). |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 57.39а, 57.40, 57.41б, 57.45, 58.32де, 58.33ге, 58.41; |
| | *★ доказать, что Aut(S<sub>n</sub>) = Inn(S<sub>n</sub>) ≅ S<sub>n</sub>, кроме случаев n=2,6. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 29 сентября 2025 === |
| | |
| | Прямое произведение (прямая сумма) групп, примеры разложений и неразложимости групп в прямые произведения (прямые суммы). Разложение конечной циклической группы в прямую сумму. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 60.2бг, 60.5, 60.7, 60.8, 60.12. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 6 октября 2025 === |
| | |
| | Системы порождающих в группе, конечно порождённые и не конечно порождённые группы, примеры. Случай абелевых групп, свободные конечно порождённые группы. Структура конечно порождённых абелевых групп, её определение, исходя из представления группы в виде факторгруппы свободной группы по подгруппе, заданной набором порождающих элементов, приведением целочисленной матрицы координат порождающих элементов подгруппы к "диагональному" виду. Вычисление порядка элемента в конечно порождённой абелевой группе, представленной как факторгруппа свободной группы. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 60.32, 60.50, 60.51, 60.52агд, 60.53. |
| | * Доказать: |
| | - группа S<sub>n</sub> порождена транспозицией (1,2) и циклом (1,2,…,n); |
| | - группа A<sub>n</sub> порождена парами независимых транспозиций при n ≥ 5; |
| | - группа B<sub>n</sub>(K) невырожденных верхнетреугольных матриц порождена элементарными матрицами 1-го и 3-го типов. |
| | * Являются ли конечно порождёнными следующие группы: |
| | - группа рациональных дробей m/n, у которых простые делители n содержатся среди {p<sub>1</sub>,…,p<sub>s</sub>}, с операцией сложения; |
| | - группа рациональных дробей m/n≠0, у которых простые делители m и n содержатся среди {p<sub>1</sub>,…,p<sub>s</sub>}, с операцией умножения. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 13 октября 2025 === |
| | |
| | Конечные абелевы группы, их структура, тип группы. Классификация конечных абелевых групп заданного порядка. Определение типа факторгруппы конечной (или конечно порождённой) абелевой группы. Вложимость конечных абелевых групп друг в друга. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 60.39ежз, 60.40ав, 60.42, 60.43а, 60.45. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 20 октября 2025 === |
| | |
| | Количество подгрупп заданного порядка в данной конечной абелевой группе. Действия групп на множествах, описание орбит и стабилизаторов. Порядок орбиты конечной группы. Группа вращений куба. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 60.43бв, 57.1абв, 57.2а, 57.3, 57.9бв, 57.12бв, 57.13ав★. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 27 октября 2025 === |
| | |
| | Действие группы на себе сопряжениями: классы сопряжённости и централизаторы, число элементов в классе сопряжённости. Силовские подгруппы, теоремы Силова, примеры: силовские подгруппы в A<sub>4</sub>, в SL<sub>2</sub>(**Z**<sub>p</sub>), в прямом произведении групп. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 57.23б, 57.25, 57.31, 59.3а, 59.4а, 59.9, 59.13где, 59.15; |
| | * описать все силовские подгруппы в D<sub>3</sub>×A<sub>4</sub>. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 1 ноября 2025 === |
| | |
| | Коммутант группы, его свойства. Вычисление коммутанта группы G методом оценки сверху (ядро гомоморфизма G в абелеву группу) и снизу (подгруппа, порождённая некоторым количеством коммутаторов). Кратные коммутанты, разрешимые группы, критерий разрешимости (в терминах подгруппы и факторгруппы). |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 62.1в, 62.7г, 62.8б, 62.10, 62.11в, 62.21, 58.38; |
| | * вычислить производный ряд для группы, состоящей из невырожденных действительных матриц вида |
| | * {{:staff:timashev:commutant.jpg|}} |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 10 ноября 2025 === |
| | |
| | Арифметика конечных групп: доказательство непростоты, разрешимости и коммутативности групп заданного порядка. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 59.20вг, 59.22ав, 59.23, 59.24, 62.18вгде★, 62.22★, 62.23★ |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 17 ноября 2025 === |
| | |
| | {{:kol-o25.pdf|Коллоквиум}} |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 24 ноября 2025 === |
| | |
| | Кольца, алгебры, структурные константы. Алгебра кватернионов. Классификация двумерных комплексных алгебр с единицей. Идеалы, главные идеалы, кольца главных идеалов. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 63.21б, 63.22а, 63.23, 64.2б, 64.8б. |
