Преподаватель: Д.А. Тимашёв

Занятия проходят по пятницам на 2-й паре (10:45-12:20) в ауд. 14-04.

Нумерация задач даётся по «Сборнику задач по алгебре» под ред. А.И. Кострикина, новое изд., Москва, МЦНМО, 2009. Дополнительные задачи помечены знаком ★.

Группы (напоминание из 1-го семестра): определение, единственность нейтрального и обратного элементов, абелевы группы, мультипликативная и аддитивная терминологии. Примеры групп: аддитивные и мультипликативные группы колец и полей, матричные и линейные группы, группы движений (в т.ч. группа диэдра $D_n$ и подгруппа поворотов $R_n$), группы подстановок (симметрическая группа $S_n$ и знакопеременная группа $A_n$). Задание конечной группы таблицей умножения, пример: группа Клейна $V_4$. Изоморфизм групп, примеры изоморфных и неизоморфных групп: группа вычетов $\mathbb{Z}_n$, группа корней из единицы $\mathbb{U}_n$ и группа поворотов $R_n$; $\mathbb{Z}_6$, $S_3$ и $D_3$, аддитивная и мультипликативная группы поля $\mathbb{R}$, а также группа положительных вещественных чисел по умножению; $\mathbb{Z}_4$ и $V_4$. Порядок элемента группы, его свойства, циклические подгруппы.

• 55.16, 55.25абг, 55.26, 56.7в, 56.10, 56.11;
• какие из групп изоморфны: аддитивная группа поля рациональных чисел, его мультипликативная группа, группа положительных рациональных чисел (по умножению)?
• изоморфны ли группы $GL_2(\mathbb{C})$ и $GL_3(\mathbb{C})$?

Теорема Лагранжа и её следствия о порядках элементов в конечных группах. Проблема классификации конечных групп, группы простого порядка. Сопряжённость элементов в группе, классы сопряжённости, центр группы. Вычисление классов сопряженности и центра для групп $Q_8$, $S_n$, $D_n$.

• доказать, что любая группа порядка 4 изоморфна либо $\mathbb{Z}_4$, либо $V_4$;
• ★ доказать, что любая группа порядка 6 изоморфна либо $\mathbb{Z}_6$, либо $S_3$;
• 57.29, 57.30б, 57.36, 58.20бв, 58.23, 58.24агж.

Нормальные подгруппы, их перечисление в группах $S_3$ и $S_4$. Факторгруппы, вычисление по определению: $\mathbb{U}_{12}/\mathbb{U}_3$.

• 58.1абд, 58.2, 58.3, 58.4б, 58.10, 58.11а, 58.12, 58.41.

Гомоморфизмы, их ядра и образы. Основная теорема о гомоморфизмах, вычисление факторгрупп с её помощью. Автоморфизмы групп, группа внутренних автоморфизмов $\operatorname{Inn}(G)$, её нормальность в $\operatorname{Aut}(G)$, группа внешних автоморфизмов $\operatorname{Out}(G)$. Автоморфизмы циклических групп, вычисление $\operatorname{Aut}(\operatorname{Aut}(\operatorname{Aut}\mathbb{Z}_9))$.

• 58.32аде, 58.33гд, 58.43, 57.39а, 57.40, 57.41б, 57.45;
• ★ доказать, что $\operatorname{Aut}(S_n)=\operatorname{Inn}(S_n)\simeq S_n$, кроме случаев $n=2,6$.

Прямое произведение (прямая сумма) групп, примеры разложений и неразложимости групп в прямые произведения (прямые суммы). Полупрямое произведение групп, пример: $D_n$.

• 60.2бг, 60.5, 60.7, 60.8б, 60.12;
• какие из групп в задаче 60.2 разложимы (нетривиальным образом) в полупрямое произведение?
• разложить в полупрямое произведение группы: а) $S_n$ б) $GL_n(K)$ в) невырожденных верхнетреугольных матриц размера $n\times n$.

Системы порождающих в группе, конечно порождённые и не конечно порождённые группы, примеры. Случай абелевых групп, свободные конечно порождённые группы. Структура конечно порождённых абелевых групп, её определение, исходя из представления группы в виде факторгруппы свободной группы по подгруппе, заданной набором порождающих элементов, приведением целочисленной матрицы координат порождающих элементов подгруппы к «диагональному» виду. Вычисление порядка элемента в конечно порождённой абелевой группе, представленной как факторгруппа свободной группы.

• 60.32, 60.50, 60.51, 60.52агд, 60.53.
• Доказать:
  1. группа $S_n$ порождена транспозицией $(1,2)$ и циклом $(1,2,\dots,n)$;
  2. группа $A_n$ порождена тройными циклами при $n\geqslant3$ и парами независимых транспозиций при $n\geqslant5$;
  3. группа $SL_n(K)$ порождена элементарными матрицами 1-го типа.
• Являются ли конечно порождёнными следующие группы:
  1. группа рациональных дробей $m/n$, у которых простые делители $n$ содержатся среди $\{p_1,\dots,p_s\}$, с операцией сложения;
  2. группа рациональных дробей $m/n\ne0$, у которых простые делители $m$ и $n$ содержатся среди $\{p_1,\dots,p_s\}$, с операцией умножения?

Объём целочисленного параллелепипеда. Конечные абелевы группы, их структура, тип группы. Классификация конечных абелевых групп заданного порядка. Определение типа факторгруппы конечной (или конечно порождённой) абелевой группы. Вложимость конечных абелевых групп друг в друга.

• 60.39ежз, 60.40ав, 60.42, 60.43а, 60.45;
• доказать формулу для объёма целочисленного $n$-мерного параллелепипеда $\Pi$ :

$$\operatorname{vol}(\Pi) = \sum_{k=0}^n \frac1{2^k}\cdot(\text{число целых точек внутри всех $(n-k)$-мерных граней $\Pi$});$$

• доказать формулу Пика для площади целочисленного многоугольника $P$ :

$$S(P) = (\text{число целых точек внутри $P$}) + \frac12 \cdot (\text{число целых точек на границе $P$}) - 1.$$