Лектор Гордиенко Алексей Сергеевич

Полугодовой спецкурс для студентов 2-6 курса, магистрантов и аспирантов.

четверг, 16:45-18:20, ауд. 12-06 (главное здание МГУ), первая лекция 5 марта 2026 года

Экзамен по задачам весеннего семестра состоится 21 мая вместо последней лекции.

Задачи

Решённые задачи нужно будет принести в отдельной тонкой тетради. На экзамене будут заданы задачи и вопросы на понимание по программе ниже. Число вопросов и задач будет зависеть от того, насколько много задач вам удастся сделать дома из списка выше, и того, насколько часто я вас видел на лекциях. На экзамене ничем нельзя будет пользоваться, кроме тетради с решёнными задачами.

Аннотация курса. Квантовые группы были введены в 1980-е годы независимо В.Г. Дринфельдом, М. Джимбо и С.Л. Вороновичем. Они являются не(ко)коммутативными алгебрами Хопфа, к которым с точки зрения некоммутативной геометрии можно относиться либо как к алгебрам регулярных функций, либо как к универсальным обёртывающим алгебр Ли некоторых «групп», которые являются «некоммутативными пространствами». Также квантовые группы являются наиболее подходящими алгебраическими структурами, которые действуют на некоммутативных пространствах квантовыми симметриями. Квантовые группы дают решения квантового уравнения Янга–Бакстера, применяются в маломерной топологии и конформной теории поля. В спецкурсе будет дано краткое введение в алгебры Хопфа и рассмотрены основные конструкции квантовых групп.

1) 05.03.2026. Аффинные алгебраические многообразия. Морфизмы многообразий. Алгебры регулярных функций. Аффинные алгебраические группы. Базис (Гамеля) в необязательно конечномерном векторном пространстве. Тензорное произведение векторных пространств. Алгебра регулярных функций декартова произведения. Алгебры и коалгебры. Примеры. Матричная коалгебра.

2) 12.03.2026. Биалгебры. Антипод и его свойства. Алгебры Хопфа. Моноидные алгебры.

Упражнение. Моноидная алгебра является алгеброй Хопфа, если и только если моноид является группой.

Упражнение. Покажите, что антипод любой алгебры Хопфа является антигомоморфизмом коалгебр.

3) 19.03.2026. Алгебры регулярных функций на аффинных алгебраических группах действительно являются алгебрами Хопфа. Коидеалы, биидеалы, идеалы Хопфа. Теорема о гомоморфизме для коалгебр. Квантовые матрицы. Квантовый определитель. Группоподобные элементы.

4) 26.03.2026. Завершили доказательство того, что $\mathcal O_q(\mathrm{SL}_2(\mathbb k))$ и $\mathcal O_q(\mathrm{GL}_2(\mathbb k))$ - действительно алгебры Хопфа (остальное в качестве упражнения). Теорема Гильберта о нулях (без доказательства). Алгебры Ли. Дифференцирования. Дифференцирования в единице. Алгебры Ли аффинных алгебраических групп. Формула производной сложной функции и перемена мест частных производных для многочленов. $\mathfrak{gl}_n(\mathbb k)$ и $\mathfrak{sl}_n(\mathbb k)$ как алгебры Ли аффинных алгебраических групп $\mathrm{GL}_n(\mathbb k)$ и $\mathrm{SL}_n(\mathbb k)$ соответственно.

5) 02.04.2026. Универсальные обёртывающие алгебры алгебр Ли. Квантовая обёртывающая алгебра $U_q(\mathfrak{sl}_2(\mathbb k))$. Деформации. Категории и функторы.

6) 09.04.2026. Естественные преобразования функторов. Моноидальные категории. Модули и комодули. Примеры. Рациональные представления аффинных алгебраических групп.

7) 16.04.2026. Структура моноидальной категории на категории комодулей над алгеброй Хопфа. Заплетённые моноидальные категории. Группа кос. Заплетённая теорема о когерентности. Уравнение кос. Симметрические категории. Категория кос.

8) 23.04.2026. Квазитреугольные и треугольные алгебры Хопфа. R-матрицы. Уравнение Янга-Бакстера.

9) 30.04.2026. Ко(квази)треугольные алгебры Хопфа. R-формы. Пример с абелевыми группами.

10) 07.05.2026. Дубль Дринфельда (определение). (Ко)модульные алгебры. Алгебра регулярных функций на аффинном алгебраическом многообразии с действием аффинной алгебраической группы как (ко)модульная алгебра. Квантовые симметрии.

11) 14.05.2026. Сочетающаяся пара биалгебр и алгебр Хопфа. Их бискрещенное (двойное смэш-) произведение. Дубль Дринфельда.

Темы, которые мы рассмотреть не успели:

Малые квантовые группы. Теоретико-множественные решения уравнения Янга-Бакстера. Брэйсы (=фигурные скобки).

Литература:

1. Кассель К. Квантовые группы.
2. Манин Ю.И. Введение в теорию схем и квантовые группы.
3. Etingof, P., Gelaki, S., Nikshych, D., Ostrik, V. Tensor categories.
4. Majid, S. Foundations of quantum group theory.
5. Montgomery, S. Hopf algebras and their actions on rings. (Конструкции квантовых групп несколько отличаются от ставших теперь общепринятыми.)
6. Smith, S.P. Quantum groups: an introduction and survey for ring theorists, in Noncommutative Rings, MSRI Publ. 24, Springer, 1992, pp.131-178. (Конструкции квантовых групп несколько отличаются от ставших теперь общепринятыми.)
7. Дринфельд В.Г. Квантовые группы. Дифференциальная геометрия, группы Ли и механика. VIII, Зап. научн. сем. ЛОМИ, 155, Изд-во «Наука», Ленинград. отд., Л., 1986, 18-49.
8. Хамфри Дж. Линейные алгебраические группы.
9. Хамфрис Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений.