Научные исследования
Краткий итог научных результатов кафедры за 2010 год
Описаны автоморфизмы, изоморфизмы и элементарная эквивалентность групп Шевалле над локальными кольцами. Доказаны общие теоремы о стандартности автоморфизмов групп Шевалле. Получена классификация алгебр и идеалов Хопфа некоторого вида. Дано полное описание конечных групп симметрий трехмерных квазикристаллов специального вида. Решены мультипликативные проблемы Бисли и проблема Гибсона. Найдены и проанализированы новые простые способы представления кодов Рида-Соломона и Рида-Маллера в виде групповых кодов. Доказано, что класс алгебр со строгой фильтрацией канонически замкнут относительно операции свободного произведения алгебр. Доказано, что любая вещественная полупростая группа Ли с конечным центром как топологическая полугруппа порождается двумя сопряженными элементами. Классифицированы торические однородные пространства полупростых групп. Найдены кольца Кокса S-многообразий. Посчитана группа классов нормальных S-многообразий и выяснено, какие S-многообразия являются торическими. Получено простое доказательство теоремы Панюшева и ее обобщение. Получены существенные продвижения в локальной классификации экстремальных окрестностей и расслоений на коники. Классифицированы трехмерные G-многообразия Фано особого вида.
Основные научные результаты кафедры за последние 5 лет
Описаны автоморфизмы и изоморфизмы групп Шевалле над коммутативными кольцами (для систем корней B_l, C_l, F_4 - с обратимой двойкой, для системы корней G_2 - с обратимой тройкой).
Описаны автоморфизмы и элементарная эквивалентность полугрупп неотрицательных обратимых матриц над линейно упорядоченными ассоциативными кольцами с обратимой двойкой (совместно с А.В. Михалевым), над коммутативными частично упорядоченными кольцами с обратимой двойкой (совместно с аспирантом П.П. Семеновым), над другими типами упорядоченных колец.
Получены теоремы типа А.И. Мальцева для различных производных структур: групп Шевалле над локальными кольцами с обратимой двойкой; колец эндоморфизмов абелевых p-групп (совместно с А.В. Михалевым); групп автоморфизмов абелевых p-групп при p, не равном 2 (совместно с М.А. Ройзнером); категорий модулей над кольцами (совместно с А.В. Михалевым); колец эндоморфизмов и групп автоморфизмов свободных модулей бесконечного ранга над кольцами (совместно с А.В. Михалевым); колец инцидентности над полусовершенными кольцами (совместно с А.С. Доброхотовой-Майковой).
(Е. И. Бунина)
Показано, что если к нетривиальной группе без кручения добавить два образующих и одно произвольное соотношение, то всегда получится SQ-универсальная группа. Установлены другие свойства относительных копредставлений.
Показано, что для любой пары кардиналов с бесконечной суммой найдётся такая группа и такое уравнение над этой группой, что первый кардинал является числом решений этого уравнения, а второй кардинал является числом нерешений этого уравнения. Построена бесконечная счётная нетопологизируемая группа без кручения.
Получено короткое доказательство и различные обобщения и усиления теоремы Макаренко–Хухро о том, что каждая группа, почти удовлетворяющая внешнему коммутаторному тождеству, содержит характеристическую подгруппу конечного индекса, удовлетворяющую этому тождеству. В качестве приложения полученных результатов мы получили неулучшаемую оценку на ступень почти разрешимости расширений почти разрешимых групп при помощи почти разрешимых.
(А. А. Клячко)
Получены существенные продвижения в локальной классификации экстремальных окрестностей и расслоений на коники (совместно с С. Мори). Получена классификация Q-горенштейновых вырождений поверхностей дель Пеццо (совместно с P. Hacking). Достигнут значительный прогресс в классификации 3-мерных многообразий Фано с терминальными особенностями. Изучены группы бирегулярных автоморфизмов аффинных конусов (совместно с М. Зайденбергом и T. Kishimoto) Получен метод изучения конечных подгрупп в трехмерной группе Кремоны. Классифицированы простые подгруппы.
(Ю. Г. Прохоров)
Получена классификация полупростых алгебр Хопфа, имеющих только одно неприводимое неодномерное представление.
Описаны в модели «среза и проекции» для квазикристаллов два класса групп симметрий общей и собственной, связанно с выбром окна. Установлена свзяь между ними. Описаны конечные группы симметрий трехмерных квазикристаллов.
(В. А. Артамонов)
Решены проблемы Капланского-Уоткинса и Полиа. Исследованы различные ранговые функции на матрицах над макс-плюс алгебрами и взаимосвязи между ними. Классифицированы линейные отображения, сохраняющие случаи равенства в оценках Сильвестра и Фробениуса для ранга произведения матриц над полями и полукольцами. Получены полукольцевые аналоги теорем Фробениуса и Дьедонне о фробениусовых эндоморфизмах для различных типов вырожденности, определителей, биопределителей и связанных с ними понятий. Охарактеризованы аддитивные отображения матриц над полями, удовлетворяющие свойству перестановочности ранга. Получено структурное описание идемпотентных булевых матриц. Указанная характеризация применена для описания всех булевых матриц, мажорируемых идемпотентами. Охарактеризованы биективные линейные отображения матриц над полями, сохраняющие свойство одновременной диагонализуемости. В качестве следствия получена классификация линейных биективных отображений, монотонных относительно частичного порядка, заданного групповой обратной матрицей, и Cn-порядка. Получена характеризация монотонных аддитивных отображений относительно произвольного регулярного порядка, в частности, регулярных f-порядков, и некоторых нерегулярных порядков: порядка, порожденного групповой обратной и Cn-порядка. Получены результаты, связывающие существование решений линейных систем над макс-алгеброй с наличием выигрышной стратегии при антагонистической игре двух игроков на графе с нулевой суммой. Получена серия результатов о связи различных функций матричного ранга над полукольцом друг с другом. Получена характеризация сюръективных полулинейных отображений матриц над антинегативными полукольцами, сохраняющих множество турнирных матриц, множество бесследных турнирных матриц, или множество примитивных пар матриц. Решены проблемы Бисли. Получена классификация линейных отображений конечномерных и бесконечномерных пространств многочленов над полями, сохраняющих свойства эллиптичности, положительности или неотрицательности многочленов. Изучены геометрические свойства С-детерминантного образа и радиуса.
(А. Э. Гутерман)
Изучались различные аспекты алгебраической теории кодирования: нелинейные рекурсивные МДР-коды, бент- и гипербент-функции, линейно оптимальные групповые и квазигрупповые коды, групповые представления кодов Рида-Соломона и Рида-Маллера (совместно с А.А.Нечаевым и др.).
Получены также некоторые результаты о ∑-нильпотентных идеалах топологических колец (совместно с В.В.Тензиной).
(В. Т. Марков)
Показано (совм. с М. Каповичем и Л. Потягайло) отсутствие когерентности для широкого класса решеток в группах движений многомерных пространств Лобачевского. При некоторых ограничениях на тип группы Галуа классифицированы абелевы накрытия поверхностей. Получена (совмю с В. Кацем и А. Элашвили) классификация исключительных нильпотентов в простых алгебрах Ли. Доказано (совм. с Г. Абельсом), что любая вещественная полупростая группа Ли с конечным центром как топологическая полугруппа порождается двумя сопряженными элементами, причем сопрягающий элемент может быть выбран из любого наперед заданного нетривиального класса сопряженности. Получено (совм. с М. Назаровым и С.М. Хорошкиным) обобщение гомоморфизма Хариш-Чандры на инвариантные элементы тензорного произведения обертывающей алгебры полупростой алгебры Ли g и произвольного конечномерного g-модуля. Доказана свободность и найдены веса образующих естественной алгебры автоморфных форм на n-мерной симметрической области типа IV при n=4,5,6,7.
(Э. Б. Винберг)
Классифицированы торические SL(2) -вложения, найдены их веера. Доказано универсальное свойство реализации Кокса неприводимого аффинного многообразия. Найдена связь между автоморфизмами аффинного многообразия и автоморфизмами его тотального координатного кольца, сохраняющими градуировку. Найден дикий автоморфизм кольца регулярных функций на многообразии вырожденных матриц порядка 2. Доказано, что автоморфизм Аника двумерного аффинного пространства не раскладывается в произведение ручных, нормализующих градуировку. Классифицированы торические однородные пространства полупростых групп. Найдены кольца Кокса S-многообразий.
(С. А. Гайфуллин)
Построение наиболее широкого класса алгебр,идеалы которых допускают базисы Грёбнера. Такой класс построен и назван «Алгебры со строгой фильтрацией».Изучено строение алгебр этого класса,в частности,показано,что класс канонически замкнут относительно универсальных конструкций:прямая сумма,тензорное произведение, свободное произведение,свободные модули.
Определение стандартного базиса для Т-идеалов свободной ассоциативной алгебры над полем нулевой характеристики.Доказано существование конечного стандартного базиса для Т-идеалов многообразий,порождённых свободной лиево нильпотентной алгеброй индекса 4 и алгеброй верхнетреугольных матриц.
(В. Н. Латышев)
Развит метод теоретико-инвариантной редукции для описания естественных дифференциальных операций на многообразиях. С его помощью доказаны общая теорема конечности для естественных дифференциальных операций на тензорных полях и несуществование естественного квантования общих пуассоновых многообразий. (Совместная работа с П.И.Кацыло.) Обобщена конструкция эквивариантного симплектического рационального накрытия Галуа кокасательного расслоения к алгебраическому многообразию с действием редуктивной группы кокасательным расслоением к некоторому многообразию орисфер.
(Д. А. Тимашев)
Исследованы свойства кольца Кокса R(X) алгебраического многообразия X с конечно порожденной группой классов дивизоров Cl(X) и связанной с ним фактор-реализации. Доказано, что кольцо R(X) является однородно факториальным относительно Cl(X)-градуировки, тогда как в случае наличия кручения в группе Cl(X) факториальность может нарушаться. Доказана теорема о подъеме автоморфизмов на реализацию Кокса в случае аффинных многообразий. Использование подъема автоморфизмов позволило классифицировать все торические многообразия, на которых транзитивно действует полупростая группа (совм. с С. А. Гайфуллиным).
Реализация Кокса найдена для некоторых классов аффинных многообразий, например, для факторов по действию конечных линейных групп и для некоторых многообразий двойных смежных классов. Используя реалиализацию Кокса, построенную в работе В. В. Батырева и Ф. Хаддад, удалось доказать, что группа специальных автоморфизмов транзитивно действует на гладких точках произвольного нормального аффинного SL(2)-вложения. Написана значительная часть монографии о кольцах Кокса (совм. с U.Derenthal, J.Hausen и A.Laface).
Геометрическая теория инвариантов. Изучался вопрос существования категорного фактора для действия нередуктивной алгебраической группы на нормальном алгебраическом многообразии. Назовем действие аффинной алгебраической группы G на нормальном многообразии X факториальным, если каждый G-инвариантный простой дивизор на X является множеством нулей некоторой регулярной инвариантной функции. В случае, когда алгебра инвариантов конечно порождена, доказано, что категорный фактор всегда существует в категории конструктивных пространств. Эти результаты получены совместно с D.Celik и J.Hausen.
Действия коммутативной унипотентной группы. Известное соответствие Хассетта-Чинкеля устанавливает биекцию между конечномерными коммутативными ассоциативными локальными алгебрами и локально транзитивными действиями коммутативных унипотентных групп G_a^n на проективных пространствах. Основываясь на этом соответствии и его обобщениях, в совместной работе с Е.В.Шаройко найдена модальность локально транзитивного G_a^n-действия на проективном пространстве, классифицированы действия модальности один и охарактеризованы локально транзитивные G_a^n-действия на проективных гиперповерхностях данной степени. Также для данной полупростой группы G найдены все параболические подгруппы P, для которых обобщенное многообразие флагов G/P допускает локально транзитивное G_a^n-действие.
Автоморфизмы аффинных многоообразий. Назовем группой специальных автоморфизмов аффинного многообразия X подгруппу группы автоморфизмов, порожденную одномерными унипотентными подгруппами. Будем говорить, что аффинное многообразие является гибким, если касательное пространство в любой его гладкой точке порождено сечениями локально нильпотентных векторных полей. В совместной работе с H.Flenner, S.Kaliman, F.Kutzschebauch и M.Zaidenberg доказано, что для многообразий размерности не ниже двух гибкость равносильна транзитивности действия группы специальных автоморфизмов на гладких точках многообразия, что в свою очередь влечет бесконечную транзитивность такого действия. В этой же работе доказан ряд геометрических свойств гибких многообразий и развита более общая теория так называемых алгебраически порожденных групп автоморфизмов алгебраических многообразий. В совместной работе с К.Г.Куюмжиян и М.Г.Зайденбергом показано, что гибкими являются нормальные конуса над многообразиями флагов, невырожденные аффинные торические многообразия, а также надстройки над гибкими аффинными многообразиями.
(И. В. Аржанцев)
Получены критерии конечности дифференциальных стандартных базисов в кольце обыкновенных дифференциальных многочленов. Рассмотрены различные классы допустимых упорядочений и поведение дифференциальных стандартных базисов при композиции. Получен «Улучшенный процесс Оливье», вычисляющий дифференциальный стандартный базис в случае его конечности.
(А. И. Зобнин)