Архив заседаний семинара "Избранные вопросы алгебры" за 2023/2024 учебный год
27 сентября 2023 года. Гордиенко А.С. «Градуированные действия групп и обобщённые H-действия, согласованные с градуировками»
Аннотация. Алгебра с градуированным действием некоторой группы G или, что то же, с действием группы G градуированными псевдоавтоморфизмами является естественным обобщением алгебры с супер- или псевдоинволюцией. Оказывается, радикал Джекобсона конечномерной ассоциативной алгебры над полем характеристики 0 инвариантен относительно таких действий, справедлива инвариантная версия теоремы Веддербёрна-Артина и, наконец, верен аналог гипотезы Амицура для градуированных G-тождеств. Вышеперечисленым вопросам и будет посвящён доклад на семинаре.
4 октября 2023 года. Пекарский Александр. «Отсутствие универсальной кодействующей алгебры Хопфа Манина квантовых симметрий прямой.»
11 октября 2023 года. Гордиенко А.С. «Тождества и коразмерности тождеств в Ω-алгебрах.»
Аннотация. Хорошо известно понятие тождества для алгебраической структуры с произвольным множеством операций произвольной арности. При изучении тождеств в алгебрах над полями естественным образом возникают их коразмерности. В докладе будет рассказано о том, как можно перенести понятие тождества и коразмерностей тождеств на Ω-алгебры так, чтобы у структур, двойственных друг к другу, коразмерности совпадали. Ω-алгебры - это векторные пространства A с произвольным множеством Ω линейных отображений из некоторых тензорных степеней пространства A в некоторые тензорные степени пространства A, например, алгебры, коалгебры, алгебры Хопфа и заплетённые векторные пространства, в том числе, модули Йеттера - Дринфельда. (Мы напомним соответствующие определения в ходе доклада.)
18 октября 2023 года. Зайцев М.В. «Функции роста коразмерностей тождеств»
25 октября 2023 года. Гайфуллин С.А. «Локально нильпотентные дифференцирования ранга 3 на алгебре многочленов от 3 переменных.»
Аннотация. Локально нильпотентным дифференцированием (ЛНД) коммутативной алгебры над полем называется линейный оператор на этой алгебре удовлетворяющий тождеству Лейбница и такой, что для любого элемента алгебры некоторая степень дифференцирования его обнуляет. ЛНД тесно связаны с автоморфизмами алгебр. В случае, когда алгебра - это свободная коммутативная алгебра, можно ввести понятие ранга, а именно, рангом называется минимальное количество порождающих, которые не лежат в ядре данного ЛНД (минимум берётся по всем системам алгебраически независимых порождающих). В докладе будут рассказаны результаты о том, как можно получить новые примеры ЛНД ранга 3 на алгебре многочленов от 3 переменных и о том, как выглядят их стабилизаторы при естественном действии группой автоморфизмов.
1 ноября 2023 года. Чубаров И.А. «Групповая матрица. Групповой детерминант и его связь с характерами конечной группы.»
Краткое содержание. Групповой детерминант, как его предложил Дедекинд. Примеры. Результаты Фробениуса о разложении группового детерминанта на неприводимые множители, которые привели к открытию характеров и так называемых k-характеров и предвосхитили теорему о разложении регулярного представления.
22 ноября 2023 года. Чубаров И.А. «Групповая матрица. Групповой детерминант и его связь с характерами конечной группы.» (Продолжение доклада.)
29 ноября 2023 года. Гордиенко А.С. «Об общем определении тождества и коразмерностей тождеств.»
Аннотация. В данном обзорном докладе мы в очередной раз напомним классическое определение тождества в алгебраической структуре произвольной сигнатуры, а также определение тождества в коалгебре, данное М.В. Кочетовым, и тождества в комодульной алгебре, данное Э. Альхадеффом и К. Касселем. Также будет рассказано об алгебраических теориях Лавира и ПРОПах Маклейна. Кроме того, мы напомним, как, используя забывающий функтор из категории модулей над алгеброй в категорию векторных пространств, восстановить алгебру, над которой были модули. Основываясь на выше изложенном, и будет дано общее категорное определение тождества в Ω-магме, а в случае, когда базовая категория линейная над полем, и коразмерностей тождеств. Данное определение планируется в дальнейшем использовать для изучения тождеств в новых алгебраических структурах.
6 декабря 2023 года. Воронин Андрей. «О характерах Джека» (доклад на английском языке).
Abstract. In 1970, the Scottish mathematician Henry Jack introduced a family of symmetric functions depending on the parameter α > 0, subsequently named after him. Jack's functions naturally generalize Schur functions (obtained after some normalization for α = 1) and zonal functions (obtained for α = 2). The coefficients of the expansion of Schur polynomials in terms of the power basis are proportional to the characters of the irreducible representations of the symmetric group (a classical result by Schur). The coefficients of the expansion of Jack polynomials in the same basis, denoted by θ_λ^µ(α), also possess certain properties of characters, such as orthogonality, which is why they are called Jack characters. They form a basis for the algebra of functions on Young diagrams. Jack characters θ_λ^µ(α) and related algebraic objects have been actively studied in recent decades. In particular, it has been established that they are polynomials with integer coefficients in terms of α, and explicit formulas have been found for their computation for certain partitions. In this presentation, formulas for the determinant of the Jack character matrix are found, including its roots as a polynomial in terms of α, and a combinatorial interpretation of their multiplicities is provided. Additionally, the second column of this matrix is computed. In the last section, matrices of transitions between the monomial, power, and Jack polynomial bases, into which the Jack character matrix is decomposed, are investigated. Recursive formulas for computing certain elements of these matrices are also discovered.
13 декабря 2023 года. Воронин Андрей. «О характерах Джека». (Продолжение доклада.)
28 февраля 2024 года. Заседание, посвященное А.И. Кострикину, основателю семинара, в честь 95-летия со дня его рождения.
Докладчики: М.В. Зайцев, И.А. Чубаров.
6 марта 2024 года. Шишмаров Н.А. (НОМЦ КФУ, г. Казань, ZOOM) «Симметрии Гекке, ассоциированные со скрученной алгеброй многочленов от 3 коммутирующих переменных»
Аннотация. Симметриями Гекке мы называем решения уравнения кос, удовлетворяющие дополнительному квадратичному соотношению. С каждой симметрией Гекке на векторном пространстве можно связать пару алгебр, которые можно рассматривать как обобщения симметрической и кососимметрической алгебр. В серии работ разных авторов было показано, что при некоторых ограничениях эти алгебры обладает определенными гомологическими свойствами, что позволяет отнести одну их них к классу регулярных алгебр, изучавшихся М. Артином и В. Шельтером. Дж. Жанг в своей работе показал, что при скручивании конечнопорожденной связно градуированной алгебры свойство регулярности в смысле Артина-Шельтера сохраняется. В докладе будет рассказано о симметриях Гекке, для которых соответствующая симметрическая алгебра является скрученной алгеброй многочленов от 3 коммутирующих переменных.
13 марта 2024 года. Ф.М. Малышев «Симплициальные системы линейных уравнений». Доклад (в аудитории) посвящается 95-летию А.И. Кострикина.
Анонс..м.pdf
20 марта 2024 года. Руслан Скуратовський (Киев) (онлайн) «Normal subgroups of permutational wreath product of symmetric and alternating groups»
We found normal subgroups and their properties for finite iterated wreath products $S_{n_1}\wr \ldots \wr S_{n_m}$, $n, m \in
\mathbb{N}$ and $A_n \wr S_n$ denoted by Wn (when finite) and by W (when infinite).
We prove that Wn is monolithic group and W is saturated with groups from the set of finite groups N.
We show that W is saturated by family of subgroups.
A saturating set is found for the family of normal subgroups of the wreath product of symmetric groups. Thus, all normal subgroups were divided on classes.
For each subgroup from the saturating set, a normal rank is found.
27 марта 2024 года. Гордиенко А.С. »(Ко)треугольные алгебры Хопфа, модули Йеттера-Дринфельда, dg-алгебры и универсальные (ко)действующие моноиды Хопфа.»
Аннотация. Будут обсуждаться новые примеры категорий, в которых удаётся доказать существование универсальных (ко)действующих моноидов Хопфа (при наличии ограничения на (ко)носитель рассматриваемых (ко)действий), а также двойственности между универсальными действующими и кодействующими моноидами Хопфа.
3 апреля 2024 года. Новочадов Дмитрий. «Ортогональность и условия конечности в ассоциативных кольцах»
10 апреля 2024 года. Гордиенко А.С. «О росте коразмерностей тождеств в алгебрах Хопфа и заплетённых векторных пространствах.»
Аннотация. В докладе будут приведены примеры вычисления базисов тождеств и коразмерностей тождеств в новом обобщённом смысле, т.е. размерностей пространств тех отображений из m-й в n-ю тензорную степень Ω-алгебры, которые являются композициями операций в Ω-алгебре и перестановок тензорных множителей.
17 апреля 2024 года. Борисенко В.В. «Стандартные базисы для Т-идеалов».
24 апреля 2024 года. Мартьянов Е.В. (МИФИ) «Продолжение и коммутация топологий Ловера-Тирни».
Аннотация:
1) Будет дано определение коммутирования декартова функтора с топологиями Ловера-Тирни на топосах, а также приведена характеризация коммутирования с топологиями Ловера-Тирни.
2) Рассмотрены примеры функторов, коммутирующих с топологиями Ловера-Тирни, и их свойства.
3) Будет приведена характеризация коммутирования функтора с топологиями Гротендика.
4) Будет рассказано о том, что коммутируемости функтора с топологией Ловера-Тирни достаточно для продолжения этой топологии на топос коалгебр, построенный по соответствующей комонаде.
5) Будет рассказано о том, что коммутирование стабильно относительно перехода к топосам коалгебр и относительно факторизации геометрических морфизмов.
15 мая 2024 года. Защиты курсовых работ студентов Васюкова Кирилла (402 группа), Аплеталина Алексея (302 группа), Морозовой Марии (332 группа).
22 мая 2024 года. Защиты курсовых работ студентов Пекарского Александра (402 группа), Степанова Никиты (302 группа), Хидешели Нино (302 группа).