Семинар "Избранные вопросы алгебры"
Семинар «Избранные вопросы алгебры» был основан в 1972 году членом-корреспондентом РАН Алексеем Ивановичем Кострикиным. В разное время соруководителями семинара были Ю.А. Бахтурин, А.Н. Рудаков, С.П. Дёмушкин.
В настоящее время руководителями семинара являются
Михалёв Александр Александрович
Заседания семинара в 2026/2027 учебном году будут проходить очно (если ниже не указано противное) по средам в аудитории 1207 (главное здание МГУ), начало в 18:30.
Ближайшие заседания
21 октября 2026 года. Хидешели Нино. «Коразмерности тождеств в трёхмерном модуле Йеттера-Дринфельда над групповой алгеброй группы $S_3$ и комплексные представления аффинной группы над полем $\mathbb Z_3$.»
28 октября 2026 года. Тимашёв Д.А. «Максимальные коммутативные подалгебры Пуассона, бипуассоновы структуры и 2-разложения алгебр Ли.»
Аннотация. В теории интегрируемых систем одной из фундаментальных задач является построение полного набора первых интегралов в инволюции для гамильтоновой динамической системы. На алгебраическом языке задача состоит в построении коммутативной подалгебры максимальной степени трансцендентности в данной алгебре Пуассона $F$. Одним из методов построения коммутативных пуассоновых подалгебр является схема Ленарда-Магри, основанная на использовании бипуассоновой структуры, т.е. другой скобки Пуассона на $F$, согласованной с исходной. В эту схему, в частности, укладывается известный метод сдвига аргумента Мищенко-Фоменко.
В случае, когда $F = S(\mathfrak g)$ — симметрическая алгебра алгебры Ли $\mathfrak g$ со скобкой Пуассона-Ли, и вторая скобка Пуассона также линейна, т.е. задаёт ещё одну структуру алгебры Ли на $\mathfrak g$, возникает пучок согласованных скобок Ли на $\mathfrak g$, параметризованных (с точностью до пропорциональности) точками проективной прямой. Мы покажем, что при некоторых предположениях, например, если алгебра Ли $\mathfrak g$ полупроста, схема Ленарда-Магри приводит в этой ситуации к коммутативной пуассоновой подалгебре максимальной степени трансцендентности тогда и только тогда, когда все значения параметра в пучке регулярны, т.е. индексы алгебр Ли, отвечающих разным значениям параметра, совпадают.
В 2021 году Панюшев и Якимова предложили реализацию схемы Ленарда-Магри, основанную на 2-разложении алгебры Ли $\mathfrak g$, т.е. разложении $\mathfrak g = \mathfrak f \oplus \mathfrak h$ в прямую сумму двух подалгебр Ли. Возможные сингулярные значения параметра отвечают так называемым сжатиям Инёню-Вигнера алгебры Ли $\mathfrak g$ вдоль подалгебр $\mathfrak f$ и $\mathfrak h$, при которых скобка Ли на подалгебре сохраняется, а дополнительное подпространство превращается в абелев идеал. Мы получим формулу для индекса сжатия Инёню-Вигнера полупростой алгебры Ли $\mathfrak g$ вдоль подалгебры $\mathfrak h$ в терминах сложности однородного многообразия $G/H$ (для квазиаффинного $G/H$ это результат Панюшева-Якимовой). В качестве следствия мы покажем, что коммутативная подалгебра Пуассона, построенная по схеме Ленарда-Магри, имеет максимальную степень трансцендентности тогда и только тогда, когда подалгебры $\mathfrak f$ и $\mathfrak h$ являются сферическими.
4 ноября 2026 года. Семинара не будет.
11 ноября 2026 года. Воронин Андрей. «Колчаны конечного типа и теорема Габриэля.»
18 ноября 2026 года. Мини-конференция студентов 6 курса кафедры высшей алгебры на английском языке.
1) 18:30-18:45. Локтев Кирилл.
2) 18:50-19:05. Степанов Никита.
3) 19:10-19:25. Аплеталин Алексей.
4) 19:30-19:45. Морозова Мария.
5) 19:50-20:05. Хидешели Нино.
Прошедшие заседания
30 сентября 2026 года. Талалаев Д.В. «Интегрирование по Ли-Бианки полной системы Тоды и преобразование Ланцоша-Крылова.»
Аннотация. В недавней совместной работе с Ю. Черняковым и Г. Шарыгиным мы реализовали критерий интегрируемости по Ли-Бианки для полной симметрической системы Тоды, мы нашли разрешимую алгебру Ли симметрий этой системы. В докладе пойдет речь о развитие этого метода, а именно об интегрировании этого семейства симметрий: будет представлена конструкция действия соответствующей группы Ли, которая заслуживает отдельного интереса - это так называемая стохастическая подгруппа.
Оказалось, что это действие тесно связано с так называемым отображением Ланцоша-Крылова, сопоставляющее каждой симметрической матрице Якобиеву матрицу. Мы интерпретирует это отображение, как проекцию фазового пространства полной системы Тоды в таковое для открытой цепочки Тоды. Один из главных результатов доклада это теорема о том, что действие стохастической группы симметрий полной системы Тоды касается слоев отображения Ланцоша.
7 октября 2026 года. Гусейн-Заде С.М. «Ряды Пуанкаре нормирований на функциях над подполем поля комплексных чисел.»
Аннотация. Нормирование (дискретное, ранга один) на алгебре ${\mathcal O}_{{\mathbb C}^2,0}$ ростков голоморфных функций двух переменных — это отображение $\nu: {\mathcal O}_{{\mathbb C}^2,0}\to {\mathbb Z}_{\ge 0}\cup \{+\infty\}$, такое, что 1) $\nu(0)=+\infty$; 2) $\nu(\lambda f)=\nu(f)$ для $\lambda\in{\mathbb C}^*:={\mathbb C}\setminus\{0\}$; 3) $\nu(f_1+f_2)\ge\min\{\nu(f_1),\nu(f_2)\}$; 4) $\nu(f_1 f_2)=\nu(f_1)+\nu(f_2)$. По сути имеются два класса нормирований на ${\mathcal O}_{{\mathbb C}^2,0}$: определяемые ростками комплексных кривых и так называемые дивизориальные.
Ряд Пуанкаре нормирования $\nu$ — это $P_{\nu}(t)=\sum_{v=0}^{\infty}\dim{J(v)/J(v+1)}t^v$, где $J(v)=\{f\in {\mathcal O}_{{\mathbb C}^2,0}: \nu(f)\ge v\}$. Имеется обобщение этого понятия на случай набора из нескольких ($r$) нормирований, как степенного ряда $P({\underline{t}})$ от ${\underline{t}}=(t_1, \ldots, t_r)$. Было показано, что для набора нормирований, определяемых ростками кривых, ряд Пуанкаре совпадает с многочленом Александера соответствующего алгебраического зацепления: пересечения объединения кривых с малой сферой в ${\mathbb C}^2$ (делённого на $1-t$ при $r=1$). Эффективные вычисления рядов Пуанкаре (для поля комплексных чисел) опирались на представление их коэффициентов в виде эйлеровых характеристик некоторых пространств: дополнений к объединениям проективных подпространств в проективном пространстве. Имеются обобщения этих понятий для нормирований на алгебре ростков голоморфных функций двух переменных, коэффициенты рядов Тейлора которых принадлежат фиксированному подполю поля комплексных чисел, например, полю вещественных чисел. В этом случае «топологические» методы вычисления рядов Пуанкаре не работают и приходится использовать комбинаторные методы, что гораздо менее эффективно.
Доклад основан на совместных работах с А.Кампильо и Ф.Дельгадо (Испания).
14 октября 2026 года. Шарыгин Г.И. «О квантовании алгебр сдвига аргумента.»