Семинар "Избранные вопросы алгебры"
Семинар «Избранные вопросы алгебры» был основан в 1972 году членом-корреспондентом РАН Алексеем Ивановичем Кострикиным. В разное время соруководителями семинара были Ю.А. Бахтурин, А.Н. Рудаков, С.П. Дёмушкин.
В настоящее время руководителями семинара являются
Михалёв Александр Александрович
Заседания семинара в 2026/2027 учебном году будут проходить очно (если ниже не указано противное) по средам в аудитории 1207 (главное здание МГУ), начало в 18:30.
Ближайшие заседания
14 октября 2026 года. Шарыгин Г.И. «О квантовании алгебр сдвига аргумента.»
21 октября 2026 года. Докладчик станет известен позднее.
28 октября 2026 года. Тимашёв Д.А. «Максимальные коммутативные подалгебры Пуассона, бипуассоновы структуры и 2-разложения алгебр Ли.»
Аннотация. В теории интегрируемых систем одной из фундаментальных задач является построение полного набора первых интегралов в инволюции для гамильтоновой динамической системы. На алгебраическом языке задача состоит в построении коммутативной подалгебры максимальной степени трансцендентности в данной алгебре Пуассона $F$. Одним из методов построения коммутативных пуассоновых подалгебр является схема Ленарда-Магри, основанная на использовании бипуассоновой структуры, т.е. другой скобки Пуассона на $F$, согласованной с исходной. В эту схему, в частности, укладывается известный метод сдвига аргумента Мищенко-Фоменко.
В случае, когда $F = S(\mathfrak g)$ — симметрическая алгебра алгебры Ли $\mathfrak g$ со скобкой Пуассона-Ли, и вторая скобка Пуассона также линейна, т.е. задаёт ещё одну структуру алгебры Ли на $\mathfrak g$, возникает пучок согласованных скобок Ли на $\mathfrak g$, параметризованных (с точностью до пропорциональности) точками проективной прямой. Мы покажем, что при некоторых предположениях, например, если алгебра Ли $\mathfrak g$ полупроста, схема Ленарда-Магри приводит в этой ситуации к коммутативной пуассоновой подалгебре максимальной степени трансцендентности тогда и только тогда, когда все значения параметра в пучке регулярны, т.е. индексы алгебр Ли, отвечающих разным значениям параметра, совпадают.
В 2021 году Панюшев и Якимова предложили реализацию схемы Ленарда-Магри, основанную на 2-разложении алгебры Ли $\mathfrak g$, т.е. разложении $\mathfrak g = \mathfrak f \oplus \mathfrak h$ в прямую сумму двух подалгебр Ли. Возможные сингулярные значения параметра отвечают так называемым сжатиям Инёню-Вигнера алгебры Ли $\mathfrak g$ вдоль подалгебр $\mathfrak f$ и $\mathfrak h$, при которых скобка Ли на подалгебре сохраняется, а дополнительное подпространство превращается в абелев идеал. Мы получим формулу для индекса сжатия Инёню-Вигнера полупростой алгебры Ли $\mathfrak g$ вдоль подалгебры $\mathfrak h$ в терминах сложности однородного многообразия $G/H$ (для квазиаффинного $G/H$ это результат Панюшева-Якимовой). В качестве следствия мы покажем, что коммутативная подалгебра Пуассона, построенная по схеме Ленарда-Магри, имеет максимальную степень трансцендентности тогда и только тогда, когда подалгебры $\mathfrak f$ и $\mathfrak h$ являются сферическими.
4 ноября 2026 года. Семинара не будет.
11 ноября 2026 года. Воронин Андрей. «Колчаны конечного типа и теорема Габриэля.»
18 ноября 2026 года. Мини-конференция студентов 6 курса кафедры высшей алгебры на английском языке.
1) 18:30-18:45. Локтев Кирилл.
2) 18:50-19:05. Степанов Никита.
3) 19:10-19:25. Аплеталин Алексей.
4) 19:30-19:45. Морозова Мария.
5) 19:50-20:05. Хидешели Нино.
Прошедшие заседания
30 сентября 2026 года. Талалаев Д.В. «Интегрирование по Ли-Бианки полной системы Тоды и преобразование Ланцоша-Крылова.»
Аннотация. В недавней совместной работе с Ю. Черняковым и Г. Шарыгиным мы реализовали критерий интегрируемости по Ли-Бианки для полной симметрической системы Тоды, мы нашли разрешимую алгебру Ли симметрий этой системы. В докладе пойдет речь о развитие этого метода, а именно об интегрировании этого семейства симметрий: будет представлена конструкция действия соответствующей группы Ли, которая заслуживает отдельного интереса - это так называемая стохастическая подгруппа.
Оказалось, что это действие тесно связано с так называемым отображением Ланцоша-Крылова, сопоставляющее каждой симметрической матрице Якобиеву матрицу. Мы интерпретирует это отображение, как проекцию фазового пространства полной системы Тоды в таковое для открытой цепочки Тоды. Один из главных результатов доклада это теорема о том, что действие стохастической группы симметрий полной системы Тоды касается слоев отображения Ланцоша.
7 октября 2026 года. Гусейн-Заде С.М. «Ряды Пуанкаре нормирований на функциях над подполем поля комплексных чисел.»
Аннотация. Нормирование (дискретное, ранга один) на алгебре ${\mathcal O}_{{\mathbb C}^2,0}$ ростков голоморфных функций двух переменных — это отображение $\nu: {\mathcal O}_{{\mathbb C}^2,0}\to {\mathbb Z}_{\ge 0}\cup \{+\infty\}$, такое, что 1) $\nu(0)=+\infty$; 2) $\nu(\lambda f)=\nu(f)$ для $\lambda\in{\mathbb C}^*:={\mathbb C}\setminus\{0\}$; 3) $\nu(f_1+f_2)\ge\min\{\nu(f_1),\nu(f_2)\}$; 4) $\nu(f_1 f_2)=\nu(f_1)+\nu(f_2)$. По сути имеются два класса нормирований на ${\mathcal O}_{{\mathbb C}^2,0}$: определяемые ростками комплексных кривых и так называемые дивизориальные.
Ряд Пуанкаре нормирования $\nu$ — это $P_{\nu}(t)=\sum_{v=0}^{\infty}\dim{J(v)/J(v+1)}t^v$, где $J(v)=\{f\in {\mathcal O}_{{\mathbb C}^2,0}: \nu(f)\ge v\}$. Имеется обобщение этого понятия на случай набора из нескольких ($r$) нормирований, как степенного ряда $P({\underline{t}})$ от ${\underline{t}}=(t_1, \ldots, t_r)$. Было показано, что для набора нормирований, определяемых ростками кривых, ряд Пуанкаре совпадает с многочленом Александера соответствующего алгебраического зацепления: пересечения объединения кривых с малой сферой в ${\mathbb C}^2$ (делённого на $1-t$ при $r=1$). Эффективные вычисления рядов Пуанкаре (для поля комплексных чисел) опирались на представление их коэффициентов в виде эйлеровых характеристик некоторых пространств: дополнений к объединениям проективных подпространств в проективном пространстве. Имеются обобщения этих понятий для нормирований на алгебре ростков голоморфных функций двух переменных, коэффициенты рядов Тейлора которых принадлежат фиксированному подполю поля комплексных чисел, например, полю вещественных чисел. В этом случае «топологические» методы вычисления рядов Пуанкаре не работают и приходится использовать комбинаторные методы, что гораздо менее эффективно.
Доклад основан на совместных работах с А.Кампильо и Ф.Дельгадо (Испания).