(3.09.2012) Системы линейных уравнений. Метод Гаусса. Критерий совместности системы линейных уравнений.
(10.09.2012) Критерий определенности системы линейных уравнений. Однородные системы. Связь решений неоднородной и соответствующей однородной систем. Свойства отображений. Ассоциативность. Обратное отображение. Его существование и единственность. Подстановки. Свойства. Запись подстановок. Их количество. Транспозиции. Разложение подстановки в произведение транспозиций. Четность (только определение).
(12.09.2012) Изменение четности перестановки при транспозиции. Четность и знак подстановки. Знак произведения. Число четных и нечетных подстановок. Циклы. Разложение подстановки в произведение независимых циклов.
algebra-12.09.2012.pdf (17.09.2012) Определитель матрицы. Полилинейность определителя. Кососимметричность определителя. Определитель транспонированной матрцы. Оределители и элементарные преобразования.
algebra-17.09.2012.pdf (19.09.2012) Вычисление определителя при помощи элементарных преобразований. Определитель с углом нулей. Разложение определителя по строке (столбцу). Фальшивое разложение. Теорема Крамера. Определитель Вандермонда.
(1.10.2012) Действия над матрицами. Ассоциатианость умножения. Понятие кольца. Примеры. Делители нуля и обратимые элементы. Простейшие свойства. Кольцо матриц. Обратная матрица. Формула для обратной матрицы. Делители нуля в кольце матриц. Критерий обратимости матрицы.
(8.10.2012) Элементарные матрицы. Матричные единицы. Умножение на элементарные матрицы. Разложение невырожденной матрицы в произведение элементарных. Вычисление обратной матрицы. Определитель произведения матриц. Векторные пространства. Простейшие свойства. Примеры. Арифметическое пространство. Линейная зависимость. Примеры и простейшие свойства.
(10.10.2012) Критерий невырожденности матрицы. Понятие базиса. Основная лемма о линейной зависимости. Следствия. Понятие ранга и размерности. Теорема о ранге матрицы (доказательство не закончено).
algebra-10.10.2012.pdf (15.10.2012) Теорема о ранге матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. Ранг произведения матриц. Решения однородной системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений. Размерность пространства решений однородной системы. Задание подпространства системой линейных уравнений. Алгоритм построения базиса системы векторов. Понятие группы.
(22.10.2012) Подгруппы. Гомоморфизмы групп. Примеры. Поля. Построение поля комплексных чисел. Алгебраическая запись комплексного числа. Комплексное сопряжение.
(24.10.2012) Тригонометрическая форма комплексного числа. Формула Муавра. Корни из комплексных чисел. Группа корней из 1. Первообразные корни. Гомоморфизмы, изоморфизмы, автоморфизмы колец. Кольца вычетов. Делители нуля и обратимые элементы. Когда кольцо вычетов явяляется полем? Теорема Вилсона.
(29.10.2012) Алгебры над полем. Подалгебры, гомоморфизмы и изоморфизмы. Конечномерные алгебры: делители нуля и обратимые элементы. Характеристика поля. Многочлены (над кольцом). Свойства. Формальные степенные ряды. Алгебра многочленов над полем. Делимость в целостных кольцах.
(7.11.2012) Подстановка элемента в многочлен. Схема Горнера. Теорема Безу. Разложение многочлена по степеням t-a. Деление с остатком. Понятие евклидова кольца. Наибольший общий делитель многочленов. Его существование, единственность, алгоритм Евклида. Неприводимые многочлены. Примеры.
(12.11.2012) Факториальность кольца многочленов. Понятие о факториальных кольцах. Примеры. Кратность корня и кратность множителя. Число корней многочлена. Многочлены и функции. Интерполяционная формула Лагранжа. Дифференцирования. Дифференцирования кольца многочленов.
(12.11.2012) Понижение кратности множителя при дифференцированиии. Следствия. Отделение кратных множителей. Формула Тейлора. Формулы Виета. Основная теорема алгебры (формулировка). Сходимость последовательностей комплексных чисел (определение и свойства). Лемма о возрастании модуля многочлена. Лемма Даламбера.
(19.11.2012) Доказательство основной теоремы алгебры. Следствия (неприводимые многочлены над C и R). Поле рациональных дробей. Простейшие дроби. Примеры.
(19.11.2012) Разложение дроби в сумму простейших. Кольцо многочленов от нескольких переменных. Степень. Однородные многочлены.
(21.11.2012) Факториальные кольца. Лемма Гаусса. Факториальность кольца многочленов над факторальным кольцом. Факториальность кольца многочленов от нескольких переменных. Симметрические многочлены. Лексикографический порядок. Его свойства.
(26.11.2012) Старший член многочлена. Его свойства. Основная теорема о симметрических многочленах. Дискриминант.
(3.12.2012) Дискриминант. Результант. Из связь. Свойства. Вычисление результанта через определитель. Приложения: исключения неизвестных. Порождающие элементы в группе. Циклические группы. Примеры.
(10.12.2012) Порядки элементов. Строение циклических групп. Смежные классы. Примеры. Теорема Лагранжа. Следствия. Нормальные подгруппы. Примеры. Ядро и образ гомоморфизма – подгруппы.