Консультации лектора перед экзаменом:
109, 110, 114 группы - 15 июня в 16:00 ауд.13-06
111, 115 группы - 22 июня в 16:00 ауд. 13-06
108, 112 группы - 23 июня в 16:00 ауд.13-06
Лекции по линейной алгебре и геометрии, 1 курс, 2 поток, весна 2023
Лектор: Куликова О.В.
Вопросы для подготовки к коллоквиуму (окончательный вариант)
Лекция 1 (11 февраля)
Векторные пространства. Подпространства. Линейная зависимость. Линейная оболочка. Конечномерные векторные пространства, базис и размерность.
Лекция 2 (13 февраля)
Матрица перехода от одного базиса к другому. Координаты. Изменение координат вектора при замене базиса. Изоморфизм векторных пространств. Сумма и пересечение подпространств. Прямая сумма подпространств. Размерность суммы и пересечения.
Лекция 3 (18 февраля)
Линейные формы. Сопряженное пространство. Сопряженный базис. Канонический изоморфизм основного и двойного сопряженного пространств.
Лекция 4 (20 февраля)
Всякое подпространство является множеством решений некоторой системы однородных линейных уравнений.
Линейные отображения. Их матрицы. Изменение матрицы линейного отображения при переходе к другим базисам. Ядро и образ линейного отображения.
Лекция 5 (25 февраля)
Теорема о связи размерности ядра и размерности образа. Линейные операторы и их матрицы. Ранг и определитель линейного оператора. Алгебра линейных операторов. Изоморфизм алгебры матриц и алгебры линейных операторов. Многочлены от линейных операторов. Вид матрицы линейного оператора при наличии инвариантных подпространств.
Лекция 6 (27 февраля)
Собственные векторы и значения. Корректность определения характеристического многочлена. Линейная независимость собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям. Собственные подпространства. Критерий существования базиса из собственных векторов линейного оператора.
Лекция 7(4 марта)
Инвариантные подпространства линейного оператора над полем комплексных чисел и над полем вещественных чисел. Существование базиса, в котором матрица линейного оператора конечномерного векторного пространства над алгебраически замкнутым полем треугольна. Теорема Гамильтона-Кэли.
Лекция 8 (6 марта)
Аннулирующие многочлены. Минимальный многочлен и его свойства. Жордановы клетки и матрицы, их характеристические и минимальные многочлены.
Лекция 9 (11 марта)
Существование жорданова базиса. Единственность жордановой нормальной формы.
Лекция 10 (13 марта)
Линейный оператор над алгебраически замкнутым полем диагонализируем тогда и только тогда, когда его минимальный многочлен не имеет кратных корней. Корневые подпространства.
Билинейные функции. Связь между матрицами билинейной функции в разных базисах. Ранг билинейной функции.
Лекция 11 (18 марта)
Определение симметрической билинейной функции. Примеры.
Теорема о том, что для произвольной симметрической билинейной функции существует базис пространства, в котором матрица функции диагональна.
Квадратичные формы. Процедура поляризации. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов. Канонический вид. Метод Лагранжа. Формула Якоби (пока без доказательства).
Лекция 12 (20 марта)
Формула Якоби (доказательство). Нормальный вид квадратичной формы над R и над C. Закон инерции. Положительно определенная квадратичная форма. Критерий Сильвестра.
Лекция 13 (25 марта)
Евклидово пространство. Неравенство Коши-Буняковского. Матрица Грама. Ортогональный и ортонормированный базисы. Матрицы перехода от одного ортонормированного базиса к другому.
Лекция 14 (27 марта)
Процесс ортогонализации Грама-Шмидта. QR-разложение невырожденной матрицы. Ортогальное дополнение. Угол и расстояние между вектором и подпространством
Лекция 15 (1 апреля)
Изоморфизм евклидова пространства и сопряженного к нему пространства. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Сопряженный линейный оператор. Самосопряженный линейный оператор. Теорема о каноническом виде.
Лекция 16 (3 апреля)
Самосопряженный линейный оператор. Свойства. Приведение к главным осям. Одновременное приведение пары квадратичных форм к сумме квадратов. Ортогональный линейный оператор. Свойства. Теорема о каноническом виде ортогонального оператора.
Лекция 17 (8 апреля)
Полярное разложение.
Полуторалинейные функции. Эрмитовы функции. Эрмитовы квадратичные функции.
Унитарные пространства. Длина вектора. Неравенство Грама-Шмидта и неравенство треугольника.
Лекция 18 (10 апреля)
Унитарные пространства. Линейные операторы в унитарных пространствах.
Лекция 19 (11 апреля)
Аффинные пространства. Изоморфизм. Изменение координат. Определение аффинного подпространства
Лекция 20 (15 апреля)
Аффинные подпространства. Аффинно-линейные функции.
Лекция 21 (17 апреля)
Задание аффинного подпространства как множество решений совместной СЛАУ.
Аффинные отображения. Аффинные операторы. Аффинная группа. Сдвиги.
Лекция 22 (22 апреля)
Аффинная группа. Сдвиги. Операторы с неподвижной точкой. Аффинно независимая система точек.
Аффинно евклидовы пространства. Расстояние между плоскостями.
Лекция 23 (24 апреля)
Движения.
Лекция 24 (29 апреля)
Аффинно-квадратичные функции.
Лекция 25 (6 мая, он-лайн)
Аффинно-квадратичные функции в аффинно-евклидовых пространствах.
Лекция 26 (13 мая, он-лайн)
Квадрики. Центр квадрики. Классификация.
Лекция 27 (15 мая, он-лайн)
Классификация квадрик (продолжение).
Тензоры. Определение. Примеры.
Лекция 28 (20 мая)
Тензоры. Координаты тензоров. Изменение координат при переходе к другому базису. Операции над тензорами. Базис в пространстве тензоров типа (p,q).
Лекция 29 (22 мая)
Свертка. Симметрирование. Альтернирование.
Лекция 30 (23 мая), дополнительная
Тензорная алгебра. Внешняя алгебра.