Кафедра высшей алгебры

Силовские подгруппы. Теорема Силова.

Коммутант полной и специальной линейной группы при n>2. Разрешимые группы. Разрешимость подгрупп и факторгрупп разрешимых групп. Разрешимость расширения разрешимой группы при помощи разрешимой. Разрешимость группы невырожденных треугольных матриц над полем. Действия группы на множестве. Различные орбиты не пересекаются. Длина орбиты равна индексу стабилизатора. Стабилизаторы точек одной орбиты сопряжены. Примеры. Нормализаторы и централизаторы. Нетривиальность центра нетривиальной конечной р-группы. Разрешимость конечных р-групп.

Вопросы к коллоквиуму в среду появятся.

Расписание колоквиумов (осень 2019)

Теорема о подгруппах свободных абелевых групп (о согласованных базисах). Факторгруппа AxB по подгруппе HxK, где H — нормальная подгруппа в A, а K — нормальная подгруппа в B. Теорема о строении конечно порождённых абелевых групп (с единственностью). Периодическая часть и р-компоненты абелевой группы. Конечные подгруппы в мультипликативной группе поля. Коммутаторы и коммутант. Коммутант S_n и A_n при n>4. Коммутант — наименьшая нормальная подгруппа, факторгруппа по которой абелева. Число гомоморфизмов из симметрической группы порядка 2019! в циклическую группу порядка сто.

21 и 28 октября и 11, 18 и 25 ноября будет две лекции по алгебре: на второй и четвёртой паре.

С 21 сентября по 17 октября я в командировке. Вместо лекций по алгебре будут лекции по топологии (а потом будет наоборот). На семинарах меня будут заменять умные аспиранты.

Дальнейший план такой:

• теорема о строении конечно порождённых абелевых групп;
• коммутант;
• разрешимые группы;
• действия;
• теоремы Силова;
• …

Элемент свободной абелевой группы F можно включить в базис тогда и только тогда, когда он не лежит в 2F, 3F, 5F,… и тогда и только тогда, когда его координаты взаимно просты. Обобщение на несколько элементов оставил в качестве упражнения, рекомендую разобрать на семинарах (там миноры должны быть взаимно просты).

Доказали (почти!) теорему о подгруппах свободных абелевых групп (то есть о согласованных базисах).

Вот основные вещи.

Факторгруппа. Теорема о гомоморфизмах. Примеры. Группа кватернионов. Теорема Кэли. Нормальные подгруппы = ядра гомоморфизмов. Теорема о том, что каждая подгруппа H конечного индекса содержит нормальную подгруппу конечного индекса (делящего |G:H|!). Прямые произведения (внешнее и внутреннее определение). Разложение циклической группы в прямую сумму примарных. Конечно порождённые свободные абелевы группы (= прямые суммы бесконечных циклических), базисы. Всякая конечно порождённая абелева группа изоморфна факторгруппе свободной.

В понедельник 16 сентября будет две лекции по алгебре (вторая и четвёртая пары).

Подгруппы циклических групп. Смежные классы. Теорем Лагранжа. Индекс. Нормальные подгруппы. Сопряжённые подгруппы. Гомоморфизмы. Ядро и образ. Нормальность ядра. Факторгруппа (только корректность пока доказали).

Содержание курса. Группы. Примеры (кватернионов не было, но будут потом). Группы как группы симметрий разных структур. Группы автоморфизмов (поля, векторного пространства, группы). Алгебраическое описание диэдральной группы. Изоморфизм. Подгруппы. (Под)группы, порождённые чем-то. Порядок элемента. Описание циклических групп.

В понедельник 2 сентября будет две лекции по алгебре (вторая и четвёртая пары). А 9 сентября вместо лекции по алгебре будет лекция по топологии.