Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- лекции_3_курс_фммф_весна_2025 [09.04.2025 15:21]
timashev
+++ лекции_3_курс_фммф_весна_2025 [22.06.2025 14:28] (текущий)
timashev
@@ Строка 4: / Строка 4: @@
 Лекции читаются **по понедельникам** на **2**-й паре (10:45-12:20) в ауд. **14-14**.
+== Экзамен: ==
+  * 28 июня 2025, 10:00, ауд. <del>14-13</del> <color #ed1c24>12-08</color>
+{{:staff:timashev:lie-2025-spring.pdf|Программа экзамена}}
 == Литература: ==
@@ Строка 107: / Строка 112: @@
 __Годограф скорости__ движения точки по кривой на группе Ли. Существование и единственность кривой с заданным годографом скорости, проходящей через заданную точку в начальный момент времени. Деформация кривой на группе Ли, дифференциальное уравнение деформации.
+----
+=== 14 апреля 2025 ===
+== Лекция 12 ==
+Интегрирование гомоморфизмов касательных алгебр Ли (//доказательство теоремы//).
+__Центр__ и __коммутант__ связной группы Ли и её касательной алгебры Ли, связь между ними. Начало доказательства теоремы о коммутанте: включение [G,G] ⊂ H° для любой подгруппы Ли H ⊂ G с касательной алгеброй Lie(H) = [Lie(G), Lie(G)] в связной группе Ли G, построение такой подгруппы Ли H для односвязной группы Ли G.
+----
+=== 21 апреля 2025 ===
+== Лекция 13 ==
+Завершение доказательства теоремы о коммутанте: умножение и коммутатор в окрестности единицы в экспоненциальных координатах, коммутаторы в Lie(G) как касательные векторы к кривым в [G,G], равенство [G,G] = H° для подгруппы Ли H ⊂ G с касательной алгеброй Lie(H) = [Lie(G), Lie(G)]. Пример: [GL<sub>n</sub>, GL<sub>n</sub>] = SL<sub>n</sub>. __Разрешимые__ группы Ли и алгебры Ли, эквивалентность разрешимости связной группы Ли и её касательной алгебры Ли. Пример: разрешимость группы верхнетреугольных матриц. __Теорема Ли__ о линейных представлениях разрешимых групп Ли.
+----
+=== 28 апреля 2025 ===
+== Лекция 14 ==
+Следствия теоремы Ли: запись комплексных линейных представлений связных разрешимых групп Ли треугольными матрицами, одномерность неприводимых представлений. Версия теоремы Ли для разрешимых алгебр Ли. __Теорема Энгеля__ и её следствия.
+__Инвариантные скалярные умножения__ на алгебрах Ли, примеры: __стандартное скалярное умножение__ на линейной алгебре Ли, __форма Киллинга__. Ортогональное дополнение к идеалу относительно инвариантного скалярного умножения есть идеал. Критерий разрешимости линейной алгебры Ли в терминах стандартного скалярного умножения.
+----
+=== 5 мая 2025 ===
+== Лекция 15 ==
+__Полупростые__ алгебры Ли и группы Ли. Необходимое условие полупростоты линейной алгебры Ли в терминах стандартного скалярного умножения. __Критерий Картана__ разрешимости и полупростоты алгебры Ли в терминах формы Киллинга. Структура полупростых алгебр Ли: разложение в прямую сумму простых идеалов. __Теорема Вейля__ о полной приводимости линейных представлений полупростых алгебр Ли. Все дифференцирования полупростых алгебр Ли являются внутренними. Всякая полупростая алгебра Ли является касательной алгеброй Ли некоторой полупростой группы Ли.