Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- семинары_105_группа_осень_2018 [21.11.2018 19:12]
timashev
+++ семинары_105_группа_осень_2018 [08.04.2025 16:43] (текущий)
@@ Строка 177: / Строка 177: @@
 ----
-=== 21 ноября 2016 ===
+=== 21 ноября 2018 ===
 Извлечение корней из комплексных чисел. Группа **U**_n комплексных корней степени n из 1, сумма и произведение всех корней степени n из 1. Вычисление сумм с помощью комплексных чисел.
@@ Строка 184: / Строка 184: @@
   * 22.7еипр, 22.8а, 22.9б, 22.17аб, 22.22★, 23.1вг, 23.2бв.
+----
+=== 28 ноября 2018 ===
+Многочлены от одной переменной над полем K: деление с остатком на линейный двучлен, теорема Безу, схема Горнера. Разложение многочлена по степеням линейного двучлена, значения высших производных и кратность корня многочлена. Наибольший общий делитель (НОД) многочленов и алгоритм Евклида. Линейное выражение НОД через исходные многочлены: (f,g)=uf+vg, его единственность при ограничениях на степени u и v, и его нахождение методом неопределённых коэффициентов.
+== Домашнее задание: ==
+  * 26.1бв, 26.2бв, 26.3бв, 26.4, 26.7ав, 26.11★, 25.2вг, 25.3б;
+  * найти НОД многочленов x^n-1 и x^m-1.
+----
+=== 3 декабря 2018 ===
+Избавление от кратных множителей в разложении многочлена на неприводимые множители. Разложение многочленов на неприводимые множители над полями **C** и **R**.
+== Домашнее задание: ==
+  * 25.8б, 27.1в, 27.3, 27.4б, 28.8★, 28.9аг★.
+----
+=== 12 декабря 2018 ===
+Неприводимых многочленов над любым полем бесконечно много. Существование неприводимых многочленов сколь угодно большой степени над конечным полем. "Решето Эратосфена" для нахождения всех неприводимых многочленов степени ≤n над конечным полем. Нахождение всех неприводимых многочленов степени ≤5 над полем **Z**_2. Рациональные корни многочлена с целыми или рациональными коэффициентами. Разложимость многочлена с целыми коэффициентами на множители меньшей степени в **Q**[x] равносильна разложимости на множители меньшей степени в **Z**[x]. Редукция многочленов с целыми коэффициентами по простому модулю, её свойства. Редукционный признак неприводимости. Разложение многочленов на неприводимые множители над **Q** с помощью редукций.
+== Домашнее задание: ==
+  * 28.1в, 28.2бв, 28.3, 28.23;
+  * найти все неприводимые многочлены степени ≤3 со старшим коэффициентом 1 над полем **Z**_3;
+  * разложить на неприводимые множители над полем **Q**:
+    - 3x^5-2x^4+5x^3-4x^2-5x-1,
+    - 2x^4-3x^3+5x^2+8x-5,
+    - 3x^4-x^3+5x^2+8x-7.
+----
+=== 13 декабря 2018 ===
+Признак Эйзенштейна, неприводимость многочлена деления круга на простое число частей.
+Рациональные дроби: представление в виде суммы многочлена и правильной дроби, разложение правильной дроби в сумму простейших дробей методом неопределённых коэффициентов, случай полей **C** и **R**.
+== Домашнее задание: ==
+  * 28.9абвде, 29.1бе, 29.2аги, 29.3;
+  *★ доказать, что многочлен x^4-10x^2+1 неприводим над **Q**, но его редукция по любому простому модулю p приводима над **Z**_p.
+----
+=== 17 декабря 2018 ===
+Симметрические многочлены, примеры: степенные суммы s_k и элементарные симметрические многочлены σ_k. Основная теорема о симметрических многочленах, метод неопределённых коэффициентов для нахождения выражения произвольного симметрического многочлена через элементарные. Выражение степенных сумм s_1, s_2, s_3, s_4 через элементарные симметрические многочлены. Решение симметрических систем алгебраических уравнений.
+== Домашнее задание: ==
+  * 29.2аги, 31.9авер, 31.15, 31.21б, 31.2, 31.5, 31.25.
+----
+=== 19 декабря 2018 ===
+== Контрольная работа ==
+  - Возведение в степень (//1 вариант//) и извлечение корней (//2 вариант//) в поле **C**.
+  - Нахождение НОД двух многочленов и его линейного выражения через эти многочлены.
+  - Разложение многочлена на неприводимые множители над полем **R** (//1 вариант//); разложение многочлена по степеням линейного двучлена, определение кратности корня и вычисление значений высших производных (//2 вариант//).
+  - Разложение многочлена на неприводимые множители над полем **Q**.
+  - Разложение рациональной дроби в сумму многочлена и простейших дробей над полем **C** (//1 вариант//) и **R** (//2 вариант//).
+  - Выражение симметрического многочлена через элементарные симметрические многочлены.