Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- семинары_206_группа_осень_2021 [01.11.2021 11:53]
timashev
+++ семинары_206_группа_осень_2021 [08.04.2025 16:43] (текущий)
@@ Строка 4: / Строка 4: @@
 Занятия проходят **по понедельникам** на **2**-й паре (10:35-12:20) в ауд. **438**.
-**<fc #FF0000>Объявления:</fc>**
-  * **Коллоквиум** по алгебре пройдёт на семинаре **15 ноября** (понедельник, 2-я пара).
-  * **Семинар** по алгебре в понедельник **1 ноября** пройдёт **в дистанционном режиме** в факультетской среде Zoom. Подключение доступно для авторизованных студентов по [[https://us02web.zoom.us/j/83773674512?pwd=UC9JNGpTZ1ZzQzJwWllpaHI3VzRadz09|ссылке]] с кодом доступа 393811.
 Нумерация задач даётся по «//Сборнику задач по алгебре//» под ред. А.И. Кострикина, новое изд., Москва, МЦНМО, 2009. Дополнительные задачи помечены знаком ★.
+== Расписание зачётов ==
+  * 20 декабря 2021, 10:00−14:00, ауд. 438
+  * 23 декабря 2021, 15:00−19:00, ауд. 438
+  * 28 декабря 2021, 15:00−19:00, ауд. 439
 ----
@@ Строка 93: / Строка 95: @@
 == Домашнее задание: ==
-  * 57.23б, 57.25, 57.31, 58.44;
+  * 57.23, 57.25, 57.31;
   * сколько существует различных игральных костей? (игральная кость — это кубик, на каждой грани которого написана цифра от 1 до 6, причём цифры могут повторяться);
   * доказать формулу Эйлера для правильного многогранника с помощью формулы Бернсайда.
+----
+=== 8 ноября 2021 ===
+Коммутант группы, его свойства. Вычисление коммутанта группы G методом оценки сверху (ядро гомоморфизма G в абелеву группу) и снизу (подгруппа, порождённая некоторым количеством коммутаторов). Кратные коммутанты, разрешимые группы, критерий разрешимости (в терминах подгруппы и факторгруппы).
+== Домашнее задание: ==
+  * 62.7г, 62.8б, 62.11в, 62.13, 62.15, 58.38;
+  * доказать, что -E не является коммутатором в группе SL_2(**R**);
+  * вычислить производный ряд для группы, состоящей из невырожденных действительных матриц вида
+  * {{:staff:timashev:commutant.jpg|}}
+----
+=== 15 ноября 2021 ===
+Силовские подгруппы, теоремы Силова, примеры: силовские подгруппы в A_4, в GL_2(**Z**_p), в прямом произведении групп. Арифметика конечных групп: доказательство непростоты групп заданного порядка (80).
+== Домашнее задание: ==
+  * 59.3а, 59.4а, 59.13где, 59.14, 59.15, 59.22ав, 59.24;
+  * описать все силовские подгруппы в D_3×A_4.
+----
+=== 22 ноября 2021 ===
+Арифметика конечных групп: доказательство разрешимости и коммутативности групп заданного порядка (12 и 455). Классификация групп порядка ≤10.
+Линейные и матричные представления групп, в том числе представление в пространстве функций на множестве с действием группы. Приводимые, неприводимые и вполне приводимые представления, разложение в прямую сумму неприводимых представлений. Нахождение инвариантных подпространств и доказательство неприводимости (пример: стандартное представление группы A_n при n≥5).
+== Домашнее задание: ==
+  * 59.20вг, 62.18вгде★, 69.2, 69.7, 69.9, 69.11;
+  * доказать, что любая неабелева группа порядка 8 изоморфна либо Q_8, либо D_4;
+  * разложить мономиальное представление группы A_n при n=3,4 над полем **C** на неприводимые слагаемые.
+----
+=== 29 ноября 2021 ===
+Теорема Машке. Описание неприводимых комплексных представлений конечных абелевых групп (пример: V_4). Описание одномерных комплексных представлений конечных групп (пример: S_3×D_5). Факты о количестве и размерностях неприводимых комплексных представлений конечной группы. Описание всех неприводимых комплексных представлений группы D_n.
+== Домашнее задание: ==
+  * 70.2жз, 70.10, 70.34бге, 70.37б, 70.39;
+  * описать все одномерные комплексные представления группы A_4×D_4;
+  * описать все неприводимые комплексные представления групп Q_8 и A_4×**Z**_3.
+----
+=== 6 декабря 2021 ===
+Алгебры, структурные константы. Классификация двумерных комплексных алгебр с единицей. Идеалы, главные идеалы, кольца главных идеалов. Факторалгебры K[x]/(f), их свойства, вычисления в K[x]/(f). Присоединение корня, избавление от иррациональности в знаменателе. Минимальный многочлен.
+== Домашнее задание: ==
+  * 63.21б, 63.22а, 64.8б, 64.2а, 64.42, 67.3бгдеж, 67.12;
+  * представить выражение (a²-3a-1)/(a²+2a+1) в виде многочлена от a наименьшей возможной степени с рациональными коэффициентами, где a∈**C** — корень многочлена x³+x²+3x+4.
+----
+=== 13 декабря 2021 ===
+== Контрольная работа ==
+  - Вычисление факторгруппы свободной абелевой группы и нахождение в ней порядка заданного элемента (//1 вариант//) и количества элементов заданного порядка (//2 вариант//).
+  - Нахождение централизатора элемента группы подстановок и количества элементов в его классе сопряжённости (//1 вариант//); описание орбит действия группы на множестве (//2 вариант//).
+  - Доказательство коммутативности группы заданного порядка (//1 вариант//); описание силовских подгрупп в группе (//2 вариант//).
+  - Вычисление производного ряда группы (//1 вариант//); доказательство разрешимости группы заданного порядка (//2 вариант//).
+  - Описание одномерных комплексных представлений группы.
+  - Избавление от иррациональности в знаменателе выражения в поле, получаемом присоединением корня неприводимого многочлена к полю **Z**_3 (//1 вариант//) и **C** (//2 вариант//).