Спецкурс "Алгебраические основы теории кодов и линейных рекуррентных последовательностей"
Лектор: Маркова Ольга Викторовна
Лекции будут проходить по вторникам в 16:45 в аудитории 1226б. Первая лекция - 17 февраля 2026г.
Внимание: лекция 28 апреля будет дистанционно в Zoom. Для получения ссылки напишите на почту.
Темы лекций:
Лекция 1 (17 февраля 2026). Основные параметры кодов: размерность, расстояние Хэмминга, исправление ошибок. Линейные коды. Граница Синглтона. МДР-коды. Граница Хэмминга (граница сферической упаковки). Совершенные коды. Двоичный код Хэмминга. Граница Плоткина. Эквидистантные коды. Симплексный код.
Лекция 2 (24 февраля 2026). Изометрические преобразования пространства Хэмминга. Теорема А.А. Маркова.
Лекция 3 (3 марта 2026). Реальная длина кода. Теорема Ф. Мак-Вильямс о продолжении изометрий линейных кодов.
Лекция 4 (10 марта 2026). Проверочная и порождающая матрицы линейного кода. Гарантируемый ранг и расстояние линейного кода над полем. Двойственный код. Построение новых кодов из заданных: добавление констант.
Лекция 5 (19 марта 2026). Построение новых кодов из заданных. Граница Грайсмера.
Лекция 6 (24 марта 2026). Основы теории конечных коммутативных колец. Структурная теорема для конечных коммутативных колец. Модули над конечными кольцами. Лемма Накаямы. Аннуляторы идеала в модуле и подмодуля в кольце. Радикал Джекобсона конечного коммутативного кольца и цоколь модуля, связь между ними. Модуль характеров конечного модуля.
Лекция 7 (31 марта 2026). Инъективные модули. Критерий Бэра. Инъективность модуля характеров. Квазифробениусов модуль, существование и единственность с точностью до изоморфизма.
Лекция 8 (7 апреля 2026). Характеризация квазифробениусовых модулей с помощью различающих характеров. Линейные коды над квазифробениусовым модулем, двойственность между кодами над кольцом и кодами над квазифробениусовым модулем.
Лекция 9 (14 апреля 2026). Общая весовая функция линейного кода над кольцом и над модулем. Тождество Мак-Вилльямс для линейных кодов над кольцом и над квазифробениусовым модулем. Линейные рекуррентные последовательности (ЛРП). Характеристический многочлен ЛРП. Пространство последовательностей над кольцом как модуль над кольцом многочленов. Порождающие элементы модуля ЛРП. Порождающие элементы модуля ЛРП. Импульсная последовательность. Генератор ЛРП. Минимальный многочлен ЛРП над полем и его свойства. Аннулятор ЛРП.
Лекция 10 (21 апреля 2026). Аннулятор ЛРП. Соотношения между семействами ЛРП с различными характеристическими многочленами. Общие свойства и параметры периодических последовательностей. Периодичность ЛРП над конечным кольцом.
Лекция 11 (28 апреля 2026). Периоды многочленов и ЛРП над полем. Вычисление периода неприводимого многочлена. Вычисление периода произвольного многочлена над полем по его каноническому разложению. Существование и свойства ЛРП максимального периода над конечным полем.
Некоторые материалы:
Конспект лекций 2026 года (с задачами). Обновляется еженедельно. Версия от 24 апреля.
Л.В.Куракин и А.А.Нечаев. Линейные коды и полилинейные рекурренты (с разрешения авторов)