Лектор: О.В. Маркова

Занятия будут проходить по вторникам 18:0-20:05 в аудитории 426 (2 учебный корпус) . Первая лекция 10 сентября.

Описание курса: Полугодовой спецкурс посвящён структурной теории матричных алгебр. Предполагается рассмотреть подалгебры алгебры матриц над различными полями, их строение и основные числовые характеристики. Акцент планируется сделать на вопросах, связанных с системами порождающих полной матричной алгебры и её подалгебр, в частности, коммутативных и верхнетреугольных алгебр. Из числовых параметров будут рассмотрены размерность, минимальная мощность системы порождающих и длина.

Изучение матричных подалгебр является классической областью исследований, которая активно развивалась в течение XX века, и в настоящее время продолжает привлекать интерес математиков по всему миру. Целью курса является, с одной стороны, знакомство слушателей с наиболее яркими классическими результатами о матричных подалгебрах. Планируется рассмотреть развитие теории матриц хронологическом порядке и обсудить со слушателями такие результаты, как теорема Бернсайда 1905 г. о порождающих полной алгебры матриц, теорема МакКоя 1936 г. о триангулизуемых матричных алгебрах, теорема Шура 1905 г. о размерности коммутативных матричных алгебр с доказательством Джекобсона 1944 г., нормальная форма Дрейзина 1951 г. для систем матриц, коммутирующих с точностью до множителя, теорема Герштенхабера 1961 г. о размерности двупорождённой коммутативной матричной алгебры, теоремы Лаффи 1983 г. о мощности неуменьшаемых систем порождающих полной матричной алгебры. С другой стороны, задачей курса является и знакомство с несколькими известными открытыми проблемами. В частности, несколько лекций будет посвящено гипотезе Паза 1984 г. о длине полной матричной алгебры и её систем порождающих. Здесь будут представлены как результаты Паза и Паппачены 1980-90х гг., так и новые результаты, принадлежащие автору курса. Предполагается показать насколько близко вышеозначенные классические результаты соседствуют с новыми открытыми направлениями.

Специальных знаний, выходящих за пределы основной программы по алгебре, от слушателей не требуется.

Спецкурс поддержан фондом БАЗИС.

Материалы курса

Конспект лекций и задачи (версия от 28 ноября 2024)

Литература

1. H. Radjavi, P. Rosenthal, Simultaneous triangularization. Universitext. Springer-Verlag, New York, 2000.
2. Р. Хорн, Ч. Джонсон, Матричный анализ, М.: Мир, 19
3. Д. Супруненко, Р. Тышкевич, Перестановочные матрицы, М.: УРСС, 2003.
4. Ф. Гантмахер, Теория матриц, М., 2004.

Темы лекций:

Лекция 1 (10 сентября 2024). Основные числовые характеристики матричных подалгебр. Теорема Бернсайда о матричных алгебрах и её следствия о блочной структуре и возможных размерностях собственных подалгебр алгебры матриц над алгебраическими замкнутыми полями.

Лекция 2 (17 сентября 2024). Треугольные матричные подалгебры. Одновременная триангулизуемость семейств матриц и порождённых ими алгебр. Теорема МакКоя (критерий триангулизуемости).

Лекция 3 (24 сентября 2024). Матрицы, коммутирующие с данной матрицей. Централизатор матрицы и его размерность. Теорема о втором централизаторе.

Лекция 4 (01 октября 2024). Коммутативные матричные подалгебры. Теорема Шура (верхняя граница размерности коммутативной алгебры). Описание алгебр максимальной размерности.

Лекция 5 (08 октября 2024). Нижняя оценка размерности максимальных коммутативных подалгебр. Построение максимальной по включению коммутативной алгебры размерности, меньшей порядка матриц.

Лекция 6 (15 октября 2024). Одно- и двупорождённые коммутативные матричные подалгебры. Теорема Герштенхабера.

Лекция 7 (22 октября 2024). Ещё про алгебры, порождённые циклическими матрицами. Двупорождённые коммутативные матричные подалгебры максимальной размерности.

Лекция 8 (29 октября 2024). Обобщения коммутативности. Матрицы, коммутирующие с точностью до множителя, и порождённые ими алгебры. Нормальная форма Дрейзина.

Лекции 9–11 (5, 12 и 19 ноября 2024). Системы порождающих. Неуменьшаемые системы порождающих полной матричной алгебры, их максимальная мощность.

Лекция 12 (26 ноября 2024). Системы порождающих, состоящие из матриц с квадратичными минимальными многочленами.