Лектор: О.В. Маркова

Занятия будут проходить по вторникам 18:0-20:05 в аудитории 426 (2 учебный корпус) . Первая лекция 10 сентября.

Описание курса: Полугодовой спецкурс посвящён структурной теории матричных алгебр. Предполагается рассмотреть подалгебры алгебры матриц над различными полями, их строение и основные числовые характеристики. Акцент планируется сделать на вопросах, связанных с системами порождающих полной матричной алгебры и её подалгебр, в частности, коммутативных и верхнетреугольных алгебр. Из числовых параметров будут рассмотрены размерность, минимальная мощность системы порождающих и длина.

Изучение матричных подалгебр является классической областью исследований, которая активно развивалась в течение XX века, и в настоящее время продолжает привлекать интерес математиков по всему миру. Целью курса является, с одной стороны, знакомство слушателей с наиболее яркими классическими результатами о матричных подалгебрах. Планируется рассмотреть развитие теории матриц хронологическом порядке и обсудить со слушателями такие результаты, как теорема Бернсайда 1905 г. о порождающих полной алгебры матриц, теорема МакКоя 1936 г. о триангулизуемых матричных алгебрах, теорема Шура 1905 г. о размерности коммутативных матричных алгебр с доказательством Джекобсона 1944 г., нормальная форма Дрейзина 1951 г. для систем матриц, коммутирующих с точностью до множителя, теорема Герштенхабера 1961 г. о размерности двупорождённой коммутативной матричной алгебры, теоремы Лаффи 1983 г. о мощности неуменьшаемых систем порождающих полной матричной алгебры. С другой стороны, задачей курса является и знакомство с несколькими известными открытыми проблемами. В частности, несколько лекций будет посвящено гипотезе Паза 1984 г. о длине полной матричной алгебры и её систем порождающих. Здесь будут представлены как результаты Паза и Паппачены 1980-90х гг., так и новые результаты, принадлежащие автору курса. Предполагается показать насколько близко вышеозначенные классические результаты соседствуют с новыми открытыми направлениями.

Специальных знаний, выходящих за пределы основной программы по алгебре, от слушателей не требуется.

Спецкурс поддержан фондом БАЗИС.

Материалы курса

Конспект лекций и задачи (версия от 12 декабря 2024)

Программа курса

Литература

1. H. Radjavi, P. Rosenthal, Simultaneous triangularization. Universitext. Springer-Verlag, New York, 2000.
2. Р. Хорн, Ч. Джонсон, Матричный анализ, М.: Мир, 19
3. Д. Супруненко, Р. Тышкевич, Перестановочные матрицы, М.: УРСС, 2003.
4. Ф. Гантмахер, Теория матриц, М., 2004.

Темы лекций:

Лекция 1 (10 сентября 2024). Основные числовые характеристики матричных подалгебр. Теорема Бернсайда о матричных алгебрах и её следствия о блочной структуре и возможных размерностях собственных подалгебр алгебры матриц над алгебраическими замкнутыми полями.

Лекция 2 (17 сентября 2024). Треугольные матричные подалгебры. Одновременная триангулизуемость семейств матриц и порождённых ими алгебр. Теорема МакКоя (критерий триангулизуемости).

Лекция 3 (24 сентября 2024). Матрицы, коммутирующие с данной матрицей. Централизатор матрицы и его размерность. Теорема о втором централизаторе.

Лекция 4 (01 октября 2024). Коммутативные матричные подалгебры. Теорема Шура (верхняя граница размерности коммутативной алгебры). Описание алгебр максимальной размерности.

Лекция 5 (08 октября 2024). Нижняя оценка размерности максимальных коммутативных подалгебр. Построение максимальной по включению коммутативной алгебры размерности, меньшей порядка матриц.

Лекция 6 (15 октября 2024). Одно- и двупорождённые коммутативные матричные подалгебры. Теорема Герштенхабера.

Лекция 7 (22 октября 2024). Ещё про алгебры, порождённые циклическими матрицами. Двупорождённые коммутативные матричные подалгебры максимальной размерности.

Лекция 8 (29 октября 2024). Обобщения коммутативности. Матрицы, коммутирующие с точностью до множителя, и порождённые ими алгебры. Нормальная форма Дрейзина.

Лекции 9–11 (5, 12 и 19 ноября 2024). Системы порождающих. Неуменьшаемые системы порождающих полной матричной алгебры, их максимальная мощность.

Лекция 12 (26 ноября 2024). Системы порождающих, состоящие из матриц с квадратичными минимальными многочленами.

Лекция 13 (3 декабря 2024). Функция длины алгебры. Гипотеза Паза о длине матричной алгебры. Её доказательство для матриц малых порядков. Оценки длины систем порождающих матричной алгебры, содержащих матрицы заданного ранга.

Лекция 14 (10 декабря 2024). Доказательство гипотезы Паза для систем порождающих, содержащих циклические матрицы. Длина треугольных и коммутативных подалгебр.