Семинар "Избранные вопросы алгебры"
Семинар «Избранные вопросы алгебры» был основан в 1972 году членом-корреспондентом РАН Алексеем Ивановичем Кострикиным. В разное время соруководителями семинара были Ю.А. Бахтурин, А.Н. Рудаков, С.П. Дёмушкин.
В настоящее время руководителями семинара являются
Михалёв Александр Александрович
Заседания семинара в весеннем семестре 2025/2026 учебного года будут проходить очно (если ниже не указано противное) по средам в аудитории 406 (2-й учебный корпус), начало в 18:30.
Ближайшие заседания
4 марта 2026 года. Заседания не будет.
11 марта 2026 года. Белозёров Г.В. «Обобщенная теорема Якоби-Шаля и многомерное фокальное свойство квадрик.»
Аннотация. Наиболее наглядными интегрируемыми гамильтоновыми системами являются биллиарды, ограниченные софокусными квадриками. Интегрируемость этих систем следует из классической теоремы Якоби-Шаля. Напомним, что согласно этой теореме касательные линии, проведенные к геодезической на $n$-осном эллипсоиде в евклидовом $\mathbb{R}^n$, касаются помимо этого эллипсоида еще $n-2$ софокусных с ним квадрик, общих для всех точек данной геодезической. Из этой теоремы следует интегрируемость геодезического потока на эллипсоиде.
В.А. Кибкало исследовал вопрос об интегрируемости геодезического потока на пересечении нескольких софокусных квадрик. Он показал, что геодезический поток на пересечении $(n-2)$-х софокусных квадрик является вполне интегрируемой гамильтоновой системой. Оказывается, результат останется верным, если рассмотреть геодезический поток на пересечении произвольного числа невырожденных софокусных квадрик. Более того, справедлива следующая теорема.
Теорема 1 (Белозеров). Пусть $Q_1,\dots,Q_k$ — невырожденные софокусные квадрики различных типов в $\mathbb{R}^n$ и $Q=\bigcap\limits_{i=1}^k Q_i$, тогда
1) геодезический поток на $Q$ квадратично интегрируем;
2) касательные линии, проведенные ко всем точкам геодезической на $Q$, касаются помимо $Q_1,\dots,Q_k$ еще $n-k-1$ квадрик софокусных с $Q_1,\dots,Q_k$ и общих для всех точек этой геодезической.
Замечание. Геодезические на пересечении невырожденных софокусных квадрик, вообще говоря, не являются геодезическими на какой-либо из квадрик $Q_1,\ldots,Q_k$. Поэтому теорема $1$ не является следствием классической теоремы Якоби-Шаля.
Cогласно теореме $1$ и результату В.В. Козлова об интегрируемых геодезических потоках на двумерных поверхностях связная компонента компактного пересечения $(n-2)$-x софокусных квадрик гомеоморфна либо тору $T^2$, либо сфере $S^2$. Причем оба эти случая реализуются. Тем не менее, удается описать класс гомеоморфности любого компактного пересечения невырожденных софокусных квадрик. Оказывается, оно гомеоморфно прямому произведению сфер.
Также оказалось, что классическую теорему Якоби-Шаля можно обобщить не только для евклидовых пространств, но также для псевдоевклидовых пространств и пространств постоянной кривизны. Эти обобщения существенным образом обогащают класс интегрируемых биллиардов.
Изучая траекторные свойства многомерных биллиардов, ограниченных эллипсоидами, автор и его научный руководитель А.Т. Фоменко получили обобщение еще двух классических результатов — фокальное свойство квадрик и теорема Грейвса. Напомним, классическая теорема Грейвса утверждает, что если на эллипс накинуть нерастяжимую петлю и, натянув нить карандашом до предела, нарисовать кривую, то получится эллипс, софокусный с заданным. Оказывается, этот факт имеет многомерное обобщение, поэтому эллипсоиды произвольной размерности можно строить с помощью нити.
Прошедшие заседания
1 октября 2025 года. Новочадов Дмитрий. «Оценки коразмерностей для тензорных полилинейных тождеств.»
Аннотация. Последовательность классических коразмерностей (ассоциативной) алгебры A измеряет пространства полилинейных A-значных функций, заданных операциями алгебры на тензорных степенях A. Аналогичным пространствам отображений между разными тензорными степенями алгебры можно сопоставить бесконечный двумерный массив её тензорных коразмерностей. В докладе будут рассмотрены основные особенности тензорных тождеств и некоторые результаты теории коразмерностей, которые удаётся перенести на этот случай.
8 октября 2025 года. Попеленский Ф.Ю. «Когомологии алгебр Стинрода и спектральные последовательности - 0.»
Аннотация. На прошлом докладе с похожим названием, но без номера, был очень короткий рассказ о роли этих алгебр в топологии. Также был рассказ об общей теории когомологий алгебр Хопфа и что из нее можно получить для вопросов, важных в топологии. Новый доклад будет посвящен некоторым задачам алгебраической топологии, в которых возникает необходимость изучать алгебры Хопфа и их когомологии. От прошлого доклада рассказ не будет зависеть; все нужные понятия будут введены по ходу изложения.
15 октября 2025 года. Сипачёва О.В. «Топологические универсальные алгебры.»
22 октября 2025 года. Гордиенко А.С. «О классификации квантовых симметрий.»
Аннотация. В докладе мы обсудим текущий прогресс в классификации квантовых симметрий. В частности, будет показано, как при $n \geqslant 14$ с помощью группы Хигмана строится пример элементарной градуировки на алгебре $M_n(\mathbb k)$ всех матриц $n \times n$ над произвольным полем $\mathbb k$, которую нельзя переградуировать конечной группой (предыдущая известная оценка была $n\geqslant 349$), а также как строится пример такой подалгебры $V$ с единицей в алгебре $\mathrm{End}_{\mathbb k}(M_n(\mathbb k))$ всех линейных операторов $M_n(\mathbb k)\to M_n(\mathbb k)$, что кодействие $V$-универсальной кодействующей алгебры Хопфа имеет нетривиальный коноситель $V$, а двойственная $V$-универсальная действующая алгебра Хопфа тривиальна и, соответственно, её действие имеет тривиальный коноситель, что даёт положительный ответ на мой вопрос о том, может ли коноситель меняться при переходе от $V$-универсальных кодействующих алгебр Хопфа к $V$-универсальным действующим.
29 октября 2025 года. Колесников П.С. (ИМ СО РАН, ZOOM) «Конформные алгебры Новикова.»
Аннотация. Класс неассоциативных алгебр, названных алгебрами Новикова, возник в работах И.М. Гельфанда с И.Я. Дорфман (1979) и С.П. Новикова с соавторами (1980-е) как способ описания условий на координаты тензоров, возникающих в задачах функционального анализа и дифференциальных уравнений. Структурная теория для этого класса алгебр активно изучается, начиная с работы Е.И. Зельманова (1987). Как было отмечено в работах С. Сю (1999) и Б. Бакалова, А.Д'Андреа, В. Каца (2001), алгебры Новикова тесно связаны с конформными алгебрами Ли - структурами, возникшими в квантовой теории поля. Мы рассмотрим ряд примеров и задач, связанных с конформными алгебрами Новикова.
Zoom Конференция https://us05web.zoom.us/j/81629965224?pwd=yEyvMAUSTcTrerm02T7K91a2b0ju8V.1
Идентификатор конференции: 816 2996 5224
Код доступа: 271828
5 ноября 2025 года. Ероховец Н.Ю. «Когомологически жёсткие семейства 3-мерных и 6-мерных многообразий, отвечающих прямоугольным гиперболическим многогранникам.»
12 ноября 2025 года. Воронин Андрей. «Структура представлений колчанов.»
Аннотация: Представлением колчана (ориентированного графа) является набор линейных пространств, соответствующих вершинам, и линейные отображения между ними, соответствующие рёбрам колчана. В докладе будет рассмотрена связь наличия отношений сильной связности между вершинами колчана со структурой его простых и неприводимых представлений. Кроме того будет сформулирован и доказан критерий существования простого представления с заданным вектором размерностей.
19 ноября 2025 года. Мануйлов В.М. «Алгебры Роу метрических пространств»
Аннотация. Сопоставление метрическим пространствам некоммутативных С*-алгебр Роу находится в русле некоммутативной геометрии и позволяет связать геометрические свойства с операторно-алгебраическими, а принадлежность оператора такой С*-алгебре позволяет вычислять, например, класс его спектральных проекторов в К-теории этой алгебры. Доклад представит обзор этих и близких результатов.
26 ноября 2025 года. Зайцев М.В. «Градуировки в алгебрах и их приложения.»
3 декабря 2025 года. Мини-конференция студентов 6 курса кафедры высшей алгебры на английском языке.
1) Пекарский Александр. «The finite dual of a Hopf algebra extension».
2) Васюков Кирилл. «On one equation in a group».
10 декабря 2025 года. Михеенко М.А. «Элементарные градуировки небольших матричных алгебр.»
Аннотация. Доклад посвящён элементарным градуировкам матричных алгебр, то есть градуировкам, при которых все матричные единицы содержатся в компонентах градуировки. Рассматривается вопрос о наличии элементарной градуировки матричной алгебры, не допускающей переградуировки конечной группой. Недавно А.С. Гордиенко и А.И. Пекарский построили такую градуировку для алгебры матриц размера 14 (известный до этого минимальный пример был построен для алгебры матриц размера 349), используя группу без конечных образов. В этом же докладе будет представлено, как можно ввести искомую градуировку на алгебре матриц размера 7.