Алгебра, 1 семестр, лекции, мехмат МГУ, 101-107 группы, осенний семестр 2023/2024
Лектор Гордиенко Алексей Сергеевич
1) 04.09.2023. Организационные вопросы. Матрицы, сложение матриц и умножение на число. Декартово произведение множеств. Арифметическое векторное пространство R^n. Векторные пространства. Примеры: функции, направленные отрезки, матрицы фиксированного размера. Упражнение. Вывести аксиомы 4-8 векторного пространства для матриц из свойств вещественных чисел. Умножение матриц. Символ Кронекера. Единичная матрица. Упражнение. Пусть A - матрица размера m x n. Обозначим через E_n единичную матрицу размера n x n. Доказать, что A E_n = A.
2) 11.09.2023. Некоммутативность умножения матриц.
Упражнение. Из свойств вещественных чисел вывести, что
A(C+D)=AC+AD,
(A+B)C=AC+BC,
(\lambda A) C=A(\lambda C)=\lambda(AC),
где A,B,C,D - матрицы соответствующих размеров, а \lambda - вещественное число.
Перестановочность символов конечного суммирования. Ассоциативность умножения матриц. Метод математической индукции (напоминание). Вывод обобщённой ассоциативности из обычной. Транспонирование матриц.
Упражнение: (A+B)^T = A^T+B^T,
(\alpha A)^T = \alpha A^T,
(AB)^T = B^T A^T.
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений (с.л.у.). Элементарные преобразования. Ступенчатый и улучшенный ступенчатый вид. Лидеры. Главные и свободные неизвестные. Экзотические уравнения.
3) 14.09.2023. Наличие нетривиального решения у однородной с.л.у., у которой число уравнений больше числа неизвестных. Линейная зависимость и её свойства. Равенство 0v=0. Основная лемма о линейной зависимости. Базис системы векторов. Существование базиса у системы, которая выражается через конечное число векторов. Подпространство. Линейная оболочка. Базис и размерность подпространства. Корректность определения. Стандартный базис в R^n. Матричные единицы - базис в пространстве матриц. Умножение матричных единиц.
4) 18.09.2023. Биекция. Обратное отображение. Линейные отображения. Изоморфизм любого конечномерного векторного пространства пространству R^n. Строчный и столбцовый ранги матрицы. Их совпадение (1-я часть теоремы о ранге). Ранг матрицы. Вычисление ранга через приведение матрицы к ступенчатому виду. Метод Жордана-Гаусса. Фундаментальная система решений однородной с.л.у. Размерность пространства решений однородной с.л.у.
5) 25.09.2023. Структура множества решений с.л.у. Теорема Кронекера - Капелли. Ранг транспонированной матрицы. Оценка сверху на ранг произведения матриц. Умножение блочных матриц. Подстановки и перестановки. Группа. Примеры групп. Циклы и транспозиции.
6) 28.09.2023. Разложение подстановки в произведение независимых циклов. Инверсии. Знак и чётность подстановки. Гомоморфизм групп. Упражнение: показать, что гомоморфизм групп переводит нейтральный элемент в нейтральный, а обратные - в обратные. Знак произведения подстановок. Знак цикла. Знак подстановки, разложенной в произведение независимых циклов. Разложение подстановки в произведение транспозиций. Подгруппа. Ядро и образ гомоморфизма. Упражнение: ядро гомоморфизма - подгруппа. Знакопеременная группа A_n. Разложение чётной подстановки в произведение тройных циклов.
7) 02.10.2023. Определитель матрицы и его свойства: линейность, кососимметричность по строкам и столбцам, определитель транспонированной матрицы, определитель единичной матрицы. Определитель верхнетреугольной матрицы. Поведение определителя при элементарных преобразованиях. Элементарные матрицы и их определители. Определитель и линейная зависимость. Невырожденные матрицы. Аксиоматическое определение определителя. Определитель произведения матриц.
8) 09.10.2023. Определитель с углом нулей.
Упражнение. Показать, что формула вычисления определителя det A det D-det B det C в общем случае неверна для определителей блочных матриц
( A B )
( C D )
даже в случае квадратных блоков A, B, C, D одинакового размера.
Подматрицы. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке и по столбцу. Определитель Вандермонда. Теорема о ранге матрицы (2-я часть). Окаймление миноров.
9) 12.10.2023. Единственность нейтрального и обратного элементов в группе.
Упражнение: (ab)^{-1} = b^{-1} a^{-1}
Обратная матрица.
Упражнение: (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T.
Нахождение обратной матрицы при помощи элементарных преобразований. Группы GL_n(R) и SL_n(R). Фальшивое разложение определителя. Формула для элементов обратной матрицы. Правило Крамера. Смежные классы по подгруппе. Отношение эквивалентности. Фактормножество.
10) 16.10.2023. Группа вычетов по модулю n. Теорема Лагранжа. Индекс подгруппы. Порядок элемента группы. Подгруппы, порождённые подмножествами. Циклические группы. Подгруппы циклических групп.
Упражнение: найти все порождающие в группах Z и Z_n.
11) 23.10.2023. Группы простого порядка циклические. Кольца. Ассоциативные, коммутативные кольца, кольца с единицей. Примеры. Кольцо вычетов по модулю n. Кольцо квадратных матриц над ассоциативным кольцом с 1. Кольцо многочленов над коммутативным кольцом с единицей.
Упражнение. Вывести то, что R[x] - коммутативное кольцо с единицей из того, что R - коммутативное кольцо с единицей.
Делители нуля. Нильпотентные элементы. Группа обратимых элементов ассоциативного кольца с единицей. Тела. Поля. Кольца и поля вычетов. Малая теорема Ферма. Характеристика поля. Ненулевая характеристика поля всегда простая. Сказали, что все понятия и конструкции из линейной алгебры, введённые нами над вещественными числами: векторное пространство, линейная зависимость, базис, ранг матрицы, метод Гаусса, определитель - вводятся и работают над произвольным полем, за тем лишь исключением, что над полями характеристики 2 в аксиоматическом определении определителя вместо кососимметричности надо сразу требовать равенства нулю при совпадении двух строчек матрицы.
12) 26.10.2023. Алгебры над полем. Примеры. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец и алгебр, в т.ч. с единицей. Зачем нужны комплексные числа? Поле комплексных чисел как двумерная подалгебра с единицей в алгебре вещественных матриц 2×2. Алгебраическая и тригонометрическая форма записи комплексного числа. Вещественная и мнимая части, модуль и аргумент комплексного числа. Формулы Муавра. Группа корней из единицы. Примитивные корни из единицы.
13) 30.10.2023. Примитивные корни из 1 в поле комплексных чисел. Целостные кольца. Целостность кольца многочленов над целостным кольцом. Многочлены от нескольких переменных. Делимость. Ассоциированные элементы. Собственные делители. Деление многочленов в столбик. Схема Горнера.
Упражнение: подстановка элемента коммутативного кольца R с 1 в многочлен задаёт гомоморфизм R[x] → R колец с 1.
Корни многочлена. Теорема Безу. Кратность корня.
14) 09.11.2023. Неравенство треугольника для комплексных чисел (забыли рассказать вовремя; 3-мя способами: через 2 семестр; через школьную геометрию на плоскости; через косинусы, как у Куроша). Связь между количеством корней и степенью многочлена. Функциональное равенство многочленов над бесконечным целостным кольцом влечёт равенство многочленов. То же для колец многочленов от нескольких переменных. Многочлен x^2-1 над кольцом Z_8 имеет 4 различных корня. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Алгебраически замкнутые поля. «Основная» теорема алгебры. (Пока без доказательства. Доказательство будет в конце семестра.) Неприводимые многочлены. Простые (неприводимые) элементы в целостном кольце.
15) 20.11.2023. Неприводимые многочлены над R и над C.
Упражнение. Доказать, что комплексное сопряжение - это гомоморфизм C→C алгебр с 1 над полем вещественных чисел.
Наибольший общий делитель (НОД). Единственность НОД с точностью до обратимых множителей. Евклидовы кольца. Существование единицы в евклидовом кольце. Алгоритм Евклида. Существование НОД(a,b) и его выражение через a и b в евклидовых кольцах.
16) 23.11.2023. НОД в евклидовых кольцах. Факториальные кольца. Факториальность евклидовых колец. Производная многочлена и её свойства. Поиск кратных корней. Вычисление всех производных многочлена в конкретной точке при помощи схемы Горнера. Поле частных целостного кольца.
17) 27.11.2023. Рациональные дроби. Простейшие дроби. Разложение произвольного элемента поля частных Q(R) евклидова кольца R в сумму элемента кольца R и простейших дробей. Единственность разложения для случая, когда R - кольцо многочленов над полем, и отсутствие единственности, когда R - кольцо целых чисел. Симметрические многочлены. Элементарные симметрические многочлены.
18) 04.12.2023. Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших. Лексикографическое упорядочение. Теорема о строении кольца симметрических многочленов. Алгебраическая независимость элементарных симметрических многочленов. Формулы Виета.
19) 07.12.2023. Определитель матрицы с элементами из произвольного коммутативного кольца с 1 и его свойства. Результант двух многочленов. Критерий равенства результанта нулю. Результант как функция корней. Дискриминант многочлена. Связь дискриминанта и результанта.
Упражнение*: результант неприводим как многочлен от a_0, …, a_m, b_0, …, b_n над любым полем.
Упражнение*: дискриминант неприводим как многочлен от a_0, …, a_n над любым полем характеристики, отличной от 2.
20) 11.12.2023. Лемма Гаусса. Факториальность колец многочленов над факториальными кольцами. Признак неприводимости Эйзенштейна. Алгебры Ли.
Упражнение. Всякая ассоциативная алгебра образует алгебру Ли относительно коммутатора [x,y]=xy-yx.
21) 14.12.2023. Дифференцирования. Дифференцирования кольца многочленов от нескольких переменных. Внутренние дифференцирования алгебры Ли. Центр алгебры Ли. Теорема Декарта.
22) 18.12.2023. Предел последовательности комплексных чисел. Непрерывность модуля непрерывной ф.к.п. Лемма о возрастании модуля. Лемма Даламбера-Аргана. Теорема Больцано-Вейерштрасса в R^2. Доказательство «основной» теоремы алгебры.
Примечание. Упражнения со знаком * являются необязательными (хотя они могут быть и очень простыми). Прочие упражнения являются обязательными и входят в программу экзамена.
Темы, которые мы не разбирали (их, конечно же, нет и в программе экзамена). Теорема Штурма. Формула Кардано.
Литература.
- Кострикин А.И. Введение в алгебру.
- Курош А.Г. Курс высшей алгебры.
- Винберг Э.Б. Курс алгебры.
- Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. (Очень хорошая и интересная книга, можно просто взять и читать, не отрываясь, но терминология достаточно архаичная: например, факторкольцо называется кольцом классов вычетов.)