Кафедра высшей алгебры

Преподаватель: Д.А.Тимашёв

Лекции читаются по средам еженедельно и по пятницам на каждой нечётной неделе на 2-й паре (10:45-12:20) а ауд. 16-22.

Семинары проходят по средам еженедельно на 3-й паре (13:15-14:50) и по пятницам на каждой чётной неделе на 2-й паре (10:45-12:20) а ауд. 16-22.

• 28 мая 2024, 10:00−14:00, ауд. 16-22
• 31 мая 2024, 10:00−14:00, ауд. 16-22
• 4 июня 2024, 13:00−16:00, ауд. 16-22

• 1 июля 2024, 10:00, ауд. 14-15

• 29 июня 2024, 16:00, ауд. 13-02

Программа экзамена

1. Ю.А. Бахтурин. Основные структуры современной алгебры.
2. Б.Л. Ван дер Варден. Алгебра.
3. Э.Б. Винберг. Линейные представления групп.
4. Э.Б. Винберг. Курс алгебры.
5. А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры алгебры.
6. И. Ламбек. Кольца и модули.
7. С. Ленг. Алгебра.
8. Ж.-П. Серр. Линейные представления конечных групп.
9. D.J.H. Garling. Clifford algebras. An introduction.
10. Сборник задач по алгебре под ред. А.И.Кострикина.

Кольца и алгебры (напоминание): определение, типы колец и алгебр, примеры. Идеалы в кольцах и алгебрах (левые, правые, двусторонние), факторкольца и факторалгебры. Гомоморфизмы колец и алгебр, их ядра и образы, основная теорема о гомоморфизмах колец и алгебр.

Модули над ассоциативными кольцами и алгебрами (левые, правые, бимодули): определение, примеры (в том числе: векторные пространства = модули над полем, абелевы группы = модули над Z, регулярный бимодуль).

Классификация одномерных алгебр и двумерных алгебр с единицей над C. Присоединение единицы к ассоциативному кольцу или алгебре. Алгебра формальных степенных рядов и кольцо целых p-адических чисел. Обратимые элементы и делители нуля в кольцах и алгебрах, случай конечномерных алгебр.

Домашнее задание

Подмодули и фактормодули. Гомоморфизмы модулей, их ядра и образы, основная теорема о гомоморфизмах модулей. Прямая сумма колец, алгебр и модулей, её универсальное свойство. Прямая сумма колец или алгебр как прямая сумма идеалов. Тензорное произведение модулей: определение через универсальное свойство, доказательство единственности, система порождающих.

Тензорное произведение модулей: доказательство существования, структура бимодуля. Свойства тензорного произведения: тензорное умножение на регулярный модуль, дистрибутивность относительно прямых сумм, ассоциативность. Полилинейные отображения модулей, универсальное свойство тензорного произведения по отношению к полилинейным отображениям.

Классификация идеалов в двумерной алгебре с единицей. Локальные кольца, примеры (включая алгебру формальных степенных рядов и кольцо целых p-адических чисел). Идеалы в алгебре C(X) непрерывных функций на топологическом пространстве X.

Домашнее задание

Простые кольца и алгебры. Алгебра Вейля. Тензорное произведение модулей, пример: Q⊗Q над Z.

Домашнее задание

Тензорное произведение векторных пространств, его базис и размерность. Расширение скаляров. Пространства полилинейных функций. Тензорное произведение колец и алгебр.

Система порождающих модуля. Конечно порождённые, циклические, свободные модули. Нётеровы модули, условие обрыва возрастающих цепочек подмодулей. Модуль M нётеров тогда и только тогда, когда его подмодуль N и фактормодуль M/N нётеровы. Прямая сумма модулей нётерова тогда и только тогда, когда нётеровы прямые слагаемые.

Тензорное произведение векторных пространств, билинейных форм, линейных отображений. Тензорное произведение колец и алгебр, примеры: (A/I)⊗(A/J) над коммутативным кольцом A с единицей, (Z/mZ)⊗(Z/nZ) над Z, C⊗C над R.

Домашнее задание

Нётеровы кольца и алгебры. Конечно порождённые модули над нётеровыми кольцами нётеровы. Факторкольца нётеровых колец нётеровы. Теорема Гильберта о базисе идеала, нётеровость конечно порождённых алгебр. Кольца главных идеалов и евклидовы кольца (напоминание): примеры, простые элементы, существование и единственность разложения элемента на простые множители. Подмодуль свободного конечно порождённого модуля над кольцом главных идеалов конечно порождён и свободен, имеет базис, согласованный с базисом объемлющего модуля.

Модули гомоморфизмов. Нётеровы кольца (коммутативные и некоммутативные). Алгебра некоммутативных многочленов от двух переменных ненётерова. Кольцо косых многочленов.

Домашнее задание

Доказательство леммы о приведении матрицы над кольцом главных идеалов к «диагональному» виду. Структура конечно порождённых модулей над кольцом главных идеалов, ранг, инвариантные множители и элементарные делители.

Приложения cтруктуры конечно порождённых модулей над кольцом главных идеалов: структура конечно порождённых абелевых групп, нормальные формы Фробениуса и Жордана матрицы линейного оператора.

Линейные представления математических структур (множеств, векторных пространств, ассоциативных алгебр, групп, … ), их матричная реализация в конечномерном случае. Инвариантные подпространства, подпредставления и факторпредставления. Прямая сумма линейных представлений. Приводимые, неприводимые и вполне приводимые представления. Подпредставление вполне приводимого представления вполне приводимо. Разложение вполне приводимого конечномерного представления в прямую сумму неприводимых представлений.

Евклидовы кольца, кольца главных идеалов и факториальные кольца. Кольцо гауссовых чисел, простые элементы в нём.

Домашнее задание

Гомоморфизмы, эндоморфизмы и изоморфизмы линейных представлений. Изоморфные линейные представления соответствуют эквивалентным матричным представлениям. Лемма Шура о гомоморфизмах и эндоморфизмах неприводимых линейных представлений. Кратности неприводимых представлений в разложении вполне приводимого представления на неприводимые слагаемые и изотипные компоненты, их единственность и структура.

Пример неевклидова кольца главных идеалов: R[x,y]/R[x,y]·(x²+y²+1).

Домашнее задание

Структура конечно порождённого модуля над кольцом главных идеалов, нахождение ранга, инвариантных множителей, элементарных делителей. Нормальная форма Фробениуса линейного оператора. Выражение минимального и характеристического многочленов через инвариантные множители.

Домашнее задание

Конечномерные ассоциативные алгебры, эквивалентность понятия линейного представления и модуля над алгеброй. Нильпотентные алгебры, радикал. Стандартное скалярное умножение на конечномерной ассоциативной алгебре, его свойства, связь с радикалом. Радикал алгебры совпадает с пересечением ядер её неприводимых представлений.

Существование точного конечномерного представления у конечномерной ассоциативной алгебры. Запись линейного представления нильпотентной алгебры нильтреугольными матрицами, её неприводимые представления. Стандартное скалярное умножение на алгебре матриц. Контрпример к совпадению радикала с ядром стандартного скалярного умножения в положительной характеристике. Стандартное скалярное умножение на алгебре, порождённой одним элементом, и дискриминант минимального многочлена.

Домашнее задание

Полупростые ассоциативные алгебры, пример: простые алгебры с ненулевым умножением, в частности, алгебры матриц над конечномерными алгебрами с делением. Разложение полупростой алгебры в прямую сумму простых алгебр. Теорема Бернсайда об образе конечномерной ассоциативной алгебры при неприводимом представлении. Теоремы Веддербёрна и Веддербёрна-Артина о структуре простых и полупростых конечномерных ассоциативных алгебр.

Полная приводимость представлений полупростых алгебр, описание неприводимых представлений, их количество и сумма квадратов размерностей.

Линейные представления групп, примеры: представления циклических групп, мономиальное представление симметрической группы, представление аддитивной группы R вращениями евклидовой плоскости, представление в пространстве функций на множестве с действием группы. Теоретико-представленческие конструкции: сопряжённое представление, ограничение линейного представления на подгруппу, тензорное произведение линейных представлений.

Прямая сумма и тензорное произведение полупростых алгебр. Структура полупростых и простых алгебр. Центральные простые алгебры и алгебры с делением, их тензорное произведение.

Домашнее задание

Центральные алгебры с делением, группа Брауэра. Обобщённые кватернионы. Расширение скаляров, расщепление и степень центральной алгебры с делением.

Домашнее задание

Групповая алгебра. Биекция между линейными представлениями группы и её групповой алгебры. Регулярное представление группы. Неприводимость представления сохраняется при переходе к сопряжённому представлению. Неприводимые представления прямого произведения групп над алгебраически замкнутым полем. Одномерные представления групп, их структура. Неприводимые представления абелевых групп над алгебраически замкнутым полем одномерны. Описание одномерных комплексных представлений конечных групп. Пример: одномерные представления группы S_n.

Ортогональные и унитарные линейные представления, их полная приводимость. Полупростота групповой алгебры конечной группы над полем нулевой характеристики и полная приводимость линейных представлений (теорема Машке). Количество и сумма квадратов размерностей неприводимых комплексных представлений конечной группы.

Матричные элементы линейных представлений, независимость пространства матричных элементов от выбора базиса. Разложение пространства C-значных функций на конечной группе в прямую сумму пространств матричных элементов неприводимых представлений. Центральные функции и характеры линейных представлений, свойства характеров. Характеры неприводимых комплексных представлений образуют ортонормированный базис пространства центральных функций на конечной группе. Вычисление кратности неприводимого представления как скалярного произведения характеров, скалярный квадрат характера равен сумме квадратов кратностей. Однозначная определяемость линейного представления своим характером.

1. Вычисление комбинации Hom и ⊗ модулей (1 вариант); вычисление в кольце целых 7-адических чисел (2 вариант).
2. Нахождение НОД двух элементов кольца Z[(1+i√3)/2] (1 вариант); разложение натурального числа в сумму двух квадратов всеми способами (2 вариант).
3. Нахождение ранга, инвариантных множителей и элементарных делителей конечно порождённого модуля над Z[i] (1 вариант); приведение линейного оператора над полем F_2 к нормальной форме Фробениуса (2 вариант).
4. Вычисление матрицы стандартного скалярного умножения (1 вариант) и нахождение радикала (2 вариант) конечномерной ассоциативной алгебры.
5. Является ли алгебра обобщённых кватернионов над Q алгеброй с делением (1 вариант); изоморфны ли алгебры обобщённых кватернионов над Q (2 вариант) ?

Мономиальное представление группы S_n, его характер и разложение в прямую сумму тривиального одномерного представления и стандартного (n-1)-мерного неприводимого представления. Описание неприводимых представлений группы S_n при n ≤ 4. Таблица характеров неприводимых представлений группы S_4. Использование характеров в решении задач теории представлений (пример: разложение тензорного произведения неприводимых представлений на неприводимые слагаемые).

Линейные группы Ли. Подгруппа в GL_n, являющаяся многообразием в окрестности какой-либо одной своей точки, является группой Ли. Примеры: SL_n, O_n, U_n. Линейная группа Ли замкнута в GL_n. Связная группа Ли порождается любой окрестностью единицы. Связная компонента единицы в произвольной группе Ли.

Представление в пространстве функций на множестве с действием группы: задание матрицами на инвариантном подпространстве. Нахождение инвариантных подпространств и доказательство неприводимости линейного представления. Разложение вполне приводимого представления в прямую сумму неприводимых представлений. Описание одномерных комплексных представлений конечных групп.

Домашнее задание

Комплексные линейные представления конечной группы: полная приводимость, количество и размерности неприводимых представлений. Описание всех неприводимых комплексных представлений группы D_n.

Домашнее задание

Алгебры Ли, структура алгебры Ли на пространстве квадратных матриц. Касательная алгебра Ли линейной группы Ли. Экспоненциальное отображение, его свойства. Связная линейная группа Ли однозначно определяется своей касательной алгеброй Ли.

Линейные представления групп Ли и алгебр Ли, модули над алгебрами Ли. Дифференциал линейного представления группы Ли есть линейное представление её касательной алгебры Ли. Связь между линейным представлением группы Ли и его дифференциалом посредством экспоненциального отображения. Эквивалентность теоретико-представленческих свойств (приводимость, неприводимость, полная приводимость) для линейных представлений связных групп Ли и соответствующих линейных представлений их касательных алгебр Ли. Линейные представления аддитивной группы Ли поля R или C. Компактные группы Ли, примеры. Выпуклые множества в многомерном пространстве, их свойства.

Групповые алгебры конечных групп, их структура. Групповая алгебра над полем характеристики, делящей порядок группы, не полупроста. Групповая алгебра группы порядка >1 не проста. Характеры линейных представлений, их свойства. Разложение тензорного произведения неприводимых представлений группы D_n на неприводимые слагаемые.

Домашнее задание

Центр масс выпуклого множества. Компактность выпуклой оболочки компактного множества. Существование инвариантного скалярного умножения и полная приводимость линейных представлений компактных групп Ли. Линейные представления группы вращений плоскости и многочлены Фурье. Вещественные формы комплексных групп Ли. Совпадение инвариантных подпространств у комплексной группы Ли и её вещественной формы в комплексном линейном представлении. Редуктивные группы Ли. Унитарный трюк Вейля: полная приводимость представлений редуктивных групп.

Описание неприводимых комплексных линейных представлений алгебры Ли sl_2(C) и групп Ли SL_2(C), SU_2(C). Двулистные накрытия SL_2(C) → SO_3(C) и SU_2(C) → SO_3(R).

Модельная задача на применение теории представлений: в вершинах куба записаны 8 чисел; за один шаг число в каждой вершине заменяется на среднее арифметическое чисел в соседних вершинах; как примерно будет выглядеть распределение чисел в вершинах через много шагов? Симплектическая группа Ли.

Домашнее задание

Связность групп Ли GL_n(C) и SL_n(C). Группа Гейзенберга. Вычисление экспоненциального отображения. Представления группы Ли R.

Конспект семинара

Видеозаписи

Домашнее задание

Связность группы Ли SO_n(C). Линейные представления группы Ли SL_2 и алгебры Ли sl_2: характеры, формула Клебша-Гордана.

Конспект семинара

Видеозаписи

Домашнее задание

Описание неприводимых комплексных линейных представлений групп Ли SO_3(C) и SO_3(R). Гармонический анализ на 2-мерной сфере, сферические функции Лапласа.

Проблема вложения алгебры Ли в ассоциативную алгебру. Универсальная обёртывающая алгебры Ли. Эквивалентность линейных представлений алгебры Ли и её универсальной обёртывающей алгебры.

Конспект лекции

Видеозаписи

Теорема Пуанкаре-Биркгофа-Витта. Алгебра Клиффорда векторного пространства с квадратичной формой.

Конспект лекции

Видеозаписи

Градуировка алгебры Клиффорда по модулю 2 (структура супералгебры). Структура алгебры Клиффорда, её базис и размерность, случай нулевой квадратичной формы. Центральная простота алгебры Клиффорда или её чётной части для векторного пространства с невырожденной квадратичной формой.

Спинорные и полуспинорные представления алгебр Клиффорда над C, их неприводимость. Спинорная группа, её векторное и спинорное представления, двулистное накрытие Spin(V) → SO(V).

Вычисления в универсальной обёртывающей алгебры Ли sl_2, элемент Казимира. Вычисления в алгебре Клиффорда. Алгебры Клиффорда размерностей 1 и 2. Алгебры Клиффорда над R и C, отщепление двумерного подпространства.

Домашнее задание

1. Существование конечной группы с заданным набором размерностей неприводимых представлений (1 вариант); описание одномерных комплексных представлений конечной группы (2 вариант).
2. Разложение тензорного произведения неприводимых представлений конечной группы на неприводимые слагаемые (1 вариант); существование характера конечной группы с заданным набором значений (2 вариант).
3. Задаёт ли матричная кривая линейное представление группы R (1 вариант); разложение тензорного произведения неприводимых представлений SL_2 на неприводимые слагаемые (2 вариант).
4. Нахождение старшего вектора заданного веса в sl_2-модуле (1 вариант); нахождение центральных элементов ограниченной степени в универсальной обёртывающей алгебре (2 вариант).
5. Вычисление в алгебре Клиффорда (1 вариант); нахождение матрицы элемента спинорной группы в спинорном представлении (2 вариант).