Это старая версия документа!
Семинары по алгебре группы 101, осень 2025
Преподаватель: Куликова О.В.
понедельник 9:00-10:35 четные недели, пятница 13:15-14:50
Нумерация задач даётся по «Сборнику задач по алгебре» под ред. А.И.Кострикина, 2-е изд., Москва, Физматлит, 2015.
Занятие №1 (5 сентября)
Определители 2-го и 3-го порядка. Свойства. Разложение по строке (по столбцу). Правило Крамера.
Домашнее задание: 9.1 (г, д), 9.2 (б,в,д,е), 12.1, 16.1 (а), 8.6 (б,г)
Занятие №2 (8 сентября)
Операции над матрицами (сложение, умножение на число, умножение). Многочлены от матриц. Транспонирование.
Домашнее задание: 17.1 (б,в,ж), 17.2 (а), 17.3 (в), 17.4, 17.5
Занятие №3 (12 сентября, пт)
Системы линейных уравнений (СЛУ). Расширенная матрица. Лидер строки. Ступенчатый и улучшенный ступенчатый вид. Метод Гаусса.
Домашнее задание: 8.1 (б,в,г), 8.2 (в,г,з)
Занятие №4 (19 сентября, пт)
Векторное пространство (вещественное). Линейная комбинация. Линейная зависимость систем векторов. Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем. Критерий линейной зависимости. Основная лемма о линейной зависимости.
Домашнее задание: 6.2 (б), 6.3 (б,д), 6.4, 6.7 (б,д), 6.8, 6.9 (б,д)
Занятие №5 (22 сентября, пн)
Векторное подпространство. Линейная оболочка. База и ранг системы векторов. Алгоритм нахождения базиса и ранга конечной системы векторов и линейных выражений всех векторов системы через найденный базис.
Домашнее задание: 6.11, 6.12 (б,г,д), 6.10 (б,д), 6.13
Занятие №6 (26 сентября, пт)
1) Алгоритм нахождения базиса и размерности линейной оболочки.
2) Ранг матрицы=ранг строк=ранг столбцов. Метод элементарных преобразований.
Домашнее задание: 1) 35.11
2) 7.1 б, к, л (только ЭП), 7.2 д, е, з, ж, 7.3, 7.5
Занятие №7 (3 октября, пт)
Критерий Кронекера-Капелли. Критерий определенности. Однородные СЛАУ. ФСР
Домашнее задание: 8.4 в,г; 7.19, 8.25
Занятие №8 (6 октября, пн)
Ранг и операции над матрицами.
Домашнее задание: 7.7, 7.11, 7. 12
Занятие №9 (10 октября, пт)
1) Матричные единицы. Матрицы специального вида.
2) Перестановки. Четность.
3) Подстановки. Умножение
Домашнее задание: 1) 17.16, 17.17, 17.26, 19.14, 19.15, 19.18
2) 3.5 (б, в, д),
3) 3.1
Занятие №10 (17 октября, пт)
1) Подстановки. Разложение на независимые циклы. Разложение в произведение транспозиций.
Домашнее задание:
1) 3.2, 3.3, 3.4
Занятие №11 (20 октября, пн)
1) Четность перестановок. Четность подстановок. Свойства.
2) Определение определителя.
3) Элементарные преобразования.
4) Метод приведения к треугольному виду.
5) Формула разложения по строке/столбцу.
Домашнее задание:
1) 3.6 (в,г,д), 3.7
2) 10.2, 10.4 (г,д), 10.6,
3) 11.1, 11.2, 11.3,
4) 13.1 (б,е), 13.2 (а,з)
5) 12.2, 12.3 (д,и)
Занятие №12 (24 октября, пт)
1) Нахождение ранга методом окаймляющих миноров
2) Обратные матрицы
Домашнее задание:
1) 7.1 (б,з), 7.2 (г) - решить методом окаймляющих миноров
2) 18.8 (г,ж,з,л), 18.9 (е,ж,л),
Занятие №13 (31 октября, пт)
Коллоквиум ч
2) 7.1 (б,з), 7.2 (г) - решить методом окаймляющих миноров
3) 18.8 (г,ж,з,л), 18.9 (е,ж,л),
Занятие №13 (31 октября, пт)
Коллоквиум
Занятие №14(7 ноября, пт)
0) Метод рекуррентных соотношений
1) Обратные матрицы
2) Матричные уравнения
Домашнее задание: 0) 4.1, 4.1б, 14.1 (в,г,д)
1) 18.10 (б), 18.18
2) 18.3 (а,д,з,и,в), 18.4
Занятие №15 (14 ноября, пт)
Контрольная работа
Занятие №16 (17 ноября, пн)
1) Бинарная операция. Коммутативность. Ассоциативность. Нейтральный элемент
2) Группоид, полугруппа, моноид, группа.
3) Кольца. Определение. Коммутативные, ассоциативные кольца, кольца с единицей, обратимые элементы кольца.
Домашнее задание: 1) 54.1 (а,б,в,д), 54.2
2) 54.3, 55.1 (а-е), 55.3, 55.5 (а-в, з), 55.6 (к, л,м,р).
3) 63.2 (а-г), 63.3 (а)
Занятие №17 (21 ноября, пт)
1) Кольца. Основные определения.
Домашнее задание:
1) 63.7+63.8 (для указанных выше пунктов), 63.13
Занятие №18 (28 ноября, пт)
0) Поля
1) Комплексные числа (продолжение).
Домашнее задание:
0) 8.10
1) 20.1 (б, в, к), 20.3 (а), 20.4 (а), 21.1(г,и,ф,х), 21.2 (а,б,ж,з), 22.7 (б,в,п), 23.2 (а), 24.6 (ж,м,о,п)