Спецкурс "Теория колец"
Тема спецкурса 2023/24 учебного года «Классическая теория колец».
Лектор: О.В. Маркова
Занятия будут проходить по вторникам 18:0-20:05 в аудитории 13-02.
Внимание: в связи с карантином очно сдать задачи спецкурса или досрочный экзамен можно будет 14 или 17 мая.
В данном курсе слушателям будет рассказано об основных классических результатах структурной теории колец. От слушателей специальных знаний, выходящих за пределы основной программы по алгебре, не требуется.
В курсе представлено общее введение в структурную теорию колец и модулей, в том числе некоторые радикалы колец и классические классами колец.
Первая лекция в весеннем семестре 13 февраля 2024 года.
Конспект лекций и задачи (за осенний семестр).
Программа курса (осенний семестр 2023/24)
Программа курса (весенний семестр 2023/24)
——————-
Темы лекций:
Лекция 1 (19 сентября 2023). Ассоциативные кольца. Идеалы. Гомоморфизмы.
Лекция 2 (26 сентября 2023). Модули над кольцами. Свободные модули.
Лекция 3 (3 октября 2023). Модули над кольцами. Неприводимые модули.
Лекция 4 (10 октября 2023). Артиновы и нётеровы кольца и модули.
Лекция 5 (24 октября 2023). Композиционные ряды. Теорема Жордана — Гёльдера. Теорема плотности. Примитивные кольца.
Лекция 6 (31 октября 2023). Полупростые модули. Цоколь. Изотипные компоненты.
Лекция 7 (7 ноября 2023). Изотипные компоненты. Полупростые кольца. Теорема Веддербёрна-Артина.
Лекция 8 (21 ноября 2023). Описание неприводимых модулей над полупростым кольцом. Теорема Веддербёрна-Артина для простых колец и для алгебр над полем. Пример простого не полуростого кольца.
Лекция 9 (28 ноября 2023). Радикал модуля. Радикал Джекобсона кольца.
Лекция 10 (5 декабря 2023). Нильпотентность радикала артинова кольца. Лемма Накаямы. Теорема Акидзуки–Хопкинса–Левицкого.
Лекция 11 (12 декабря 2023). Локальные кольца. Идемпотенты кольца и их связь с разложением в прямую сумму. Критерий локальности артинова кольца.
Лекция 12 (13 февраля 2024). Неразложимые и строго неразложимые модули. Критерий локальности артинова кольца. Разложение Крулля—Шмидта.
Лекция 13 (20 февраля 2024). Примитивные идемпотенты. Поднятие идемпотентов. Полулокальные кольца.
Лекция 14 (27 февраля 2024). Локальные идемпотенты. Полусовершенные кольца. Теорема Мюллера.
Лекция 15 (5 марта 2024). Изоморфизм идемпотентов. Свойства полусовершенных колец.
Лекция 16 (12 марта 2024). Чистые кольца. Ортогонально конечные кольца.
Лекция 17 (19 марта 2024). Первичные и полупервичные идеалы.
Лекция 18 (26 марта 2024). Первичный радикал. Первичные и полупервичные кольца. Радикал Кёте. Теорема Левицкого.
Лекция 19 (2 апреля 2024). Существенные подмодули. Равномерная размерность.
Лекция 20 (9 апреля 2024). Кольца Голди.
Лекция 21 (16 апреля 2024). Классическое кольцо частных.
Лекция 22 (23 апреля 2024). Области Оре. Теорема Голди.
Основная литература:
1. Cohn, P. M. Introduction to Ring Theory. Springer Undergraduate Mathematics Series (2000).
2. Ламбек, И. Кольца и модули. Факториал Пресс (2005). Англоязычная версия: Lambek, J. Lectures on rings and modules. AMS Chelsea Publishing (1966).
3. Lam, T. Y. A first course in noncommutative rings. Springer-Verlag (1991).
Дополнительная литература:
1. Anderson, F. W., Fuller, K. R. Rings and Categories of Modules. Springer New York (1992).
2. Facchini, A. Module Theory: Endomorphism rings and direct sum decompositions in some classes of modules. Birkhäuser Basel. (1998).
3. Херстейн И. Некоммутативные кольца. Мир (1972). Англоязычная версия: Herstein, I. N. Noncommutative rings. Mathematical Association of America (1996).
4. Каш Ф. Модули и кольца. Мир (1981). Оригинал на немецком. Англоязычная версия: Kasch, F. Modules and rings. Academic Press, (1982).
5. Lam, T. Y. Lectures on modules and rings. Springer (1999).
6. Пирс, Р. Ассоциативные алгебры. Мир (1986). Англоязычная версия: Pierce, R. S. Associative algebras. Springer (1982).
7. Rowen L. H. Ring theory. Volumes 1-2. Academic Press Inc. (1988).
8. Туганбаев, А.А. Теория колец. Арифметические кольца и модули. МЦНМО (2009).