Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- лекции_1_курс_3_поток_осень_2023 [12.09.2023 10:59]
markova
+++ лекции_1_курс_3_поток_осень_2023 [08.04.2025 16:43] (текущий)
@@ Строка 22: / Строка 22: @@
   - Ленг С. Алгебра. М., Мир, 1968.
-<fc #FF0000> Другие материалы тоже будут появляться здесь.</fc>
+**Материалы:**
+**{{:вопросы_к_коллоквиуму_1курс_3_поток_2023.pdf|Список вопросов к коллоквиуму}}**
+**{{:courses:1курс3поток2023программа_1_.pdf|Программа экзамена}}**
 **Планируемые темы лекций:**
@@ Строка 33: / Строка 37: @@
 №2 (07.09.2023) Линейная зависимость строк (столбцов). Основная лемма о линейной зависимости, база и ранг системы строк (столбцов).
-№3 (11.09.2023)   Ранг матрицы: определения строчного и столбцового рангов матрицы. Критерий совместности и определенности системы линейных уравнений в терминах рангов матриц (теорема Кронекера-Капелли).
+№3 (11.09.2023)  Ранг матрицы: определения строчного и столбцового рангов матрицы. Критерий совместности и определенности системы линейных уравнений в терминах рангов матриц (теорема Кронекера-Капелли).
+№4 (18.09.2023)	Фундаментальная система решений однородной системы уравнений. Группа подстановок конечного множества, знак подстановки (четность).
+№5 (21.09.2023) Чётность и знак подстановки. Разложение подстановки в произведение транспозиций. Знак произведения подстановок.
+Определитель квадратной матрицы, его основные свойства (линейность, кососимметричность).
+№6 (25.09.2023) Изменение определителя при элементарных преобразованиях строк (столбцов) матрицы. Определитель транспонированной матрицы. Определитель треугольной матрицы. Критерий равенства определителя нулю. Определитель матрицы с углом нулей. Определитель Вандермонда. Миноры и алгебраические дополнения элементов. Разложение определителя по строке(столбцу). Лемма о “фальшивом” разложении определителя.
+№7 (02.10.2023) Формулы Крамера для решения определенных квадратных систем линейных уравнений. Миноры прямоугольной матрицы. Теорема об окаймляющих минорах. Вычисление ранга матрицы с помощью миноров (теорема о ранге матрицы). Операции над матрицами  и их свойства.
+№8 (05.10.2023)	Операции над матрицами и их свойства. Обобщенная ассоциативность. Транспонирование произведения матриц. Умножение матрицы на диагональную матрицу слева и справа. Единичная матрица, ее единственность. Скалярные матрицы. Обратная матрица, ее единственность. Критерий существования и формула вычисления элементов обратной матрицы.
+№9 (09.10.2023) Формула вычисления элементов обратной матрицы. Умножение треугольных матриц. Матричные единицы и их умножение. Элементарные матрицы и их связь с элементарными преобразованиями. Определитель произведения матриц. Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований. Ранг суммы и произведения матриц.
+№10 (16.10.2023) Факторизационный ранг матрицы. Матрицы ранга 1. Матричная запись системы линейных уравнений. Строение общего решения неоднородной системы уравнений, его геометрическая интерпретация.
+№11 (19.10.2023)  Определение группы. Примеры групп. Конечные и бесконечные группы, абелевы группы. Подгруппы. Гомоморфизмы и изоморфизмы групп.
+№12 (23.10.2023) Циклические группы. Порядок элемента. Подгруппы циклических групп. Изоморфизм циклических групп одного порядка. Теорема Кэли. Смежные классы, теорема Лагранжа и ее следствия. Нормальные подгруппы.
+№13 (30.10.2023) Нормальные подгруппы и фактор-группы. Основные алгебраические структуры: кольца, поля.
+№14 (02.11.2023) Поле комплексных чисел. Комплексная плоскость. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая форма записи комплексных чисел. Операция сопряжения комплексных чисел и ее свойства. Формула Муавра.
+№15 (13.11.2023) Корни целой степени из комплексного числа. Группа комплексных корней из единицы. Кольцо многочленов от одной переменной над полем. Возможность и единственность деления на ненулевой многочлен с остатком.
+№16 (16.11.2023) Наибольший общий делитель двух многочленов, его выражение через многочлены, алгоритм Евклида.  Неприводимые многочлены.
+№17 (20.11.2023) Факториальность кольца многочленов. Многочлен как функция. Схема Горнера. Корни многочлена, кратность корня. Понижение кратности корня при дифференцировании, избавление от кратных корней.
+№18 (27.11.2023) Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел.  Неприводимые многочлены над полями комплексных и действительных чисел.
+№19 (30.11.2023) Задача интерполяции. Поле рациональных дробей. Простейшие дроби. Разложение правильной дроби в сумму простейших дробей, случай вещественного и комплексного полей.
+№20 (04.12.2023) Границы корней многочлена. Теорема Декарта (без доказательства). Метод Штурма отделения вещественных корней многочлена.
+№21 (11.12.2023) Кольцо многочленов от нескольких переменных. Лексикографический порядок на одночленах. Старший член произведения многочленов. Симметрические многочлены, их выражение через элементарные симметрические многочлены, формулы Виета.
+№22 (18.12.2023) Дискриминант многочлена, выражение дискриминанта через корни многочлена. Решение уравнений 3 и 4 степеней.