Линейная алгебра и геометрия, семинары, 114 группа, 2026
Занятие №1 (9 февраля)
Повторение (Векторные пространства. Линейная зависимость. Базис. Размерность. Матрицы перехода. Преобразование координат вектора при переходе к другому базису.)
ДЗ: 34.6, 34.3(б,д,е), 34.4 (б), 34.5, 34.10 (а), 34.11 (б), 34.12
Занятие №2 (12 февраля)
0) Дополнение системы векторов до базиса.
1) Повторение (Определение векторного подпространства, ранг системы векторов, линейная оболочка).
2) Способы задания подпространств.
Домашнее задание:
0) 34.14(б)
1) 35.1 (и, к, о,п), 35.2 (в), 35.3, 35.4 (а),
2) 35.11 (б), 35.16 (б), 35.10
Занятие №3 (16 февраля, пн)
1) Нахождение базиса и размерности суммы и пересечения подпространств
2) Прямая сумма подпространств
ДЗ:
1) 35.14 (б,в), 35.15 (б)
2) №35.18, 35.19, 35.22, 35.24
Занятие №4 (19 февраля, чт)
1) Сумма и пересечение подпространств. Формула Грассмана.
2) Линейные функции. Координаты.
3) Сопряженное пространство. Сопряженный базис. Преобразование координат линейной функции.
ДЗ:
1) 35.12, 35.13,
2) №1 из файла.
3) №36.9 (б), 36.10, 36.11, 36.12, 36.13, 36.14, 36.18, задачи №2, №3 (б), №4 (а) из файла.
Занятие №5 (25 февраля,чт)
1) Линейные отображения (линейные операторы). Ядро. Образ. Матрица линейного отображения.
2) Изменение матрицы линейного оператора при переходе к другому базису.
ДЗ:
1) № 39.1+39.5, 39.15 (д,з,л,м,н), 36.2,
2) №39.2, 39.3, 39.19 – 39.23, 39.16
Занятие №6 (2 марта)
1) Ранг линейного оператора. Невырожденные и обратимые линейные операторы
ДЗ:
0) №36.5*, 36.6,
1) 39.7, 39.8 (доделать), 39.12а*.
Занятие №7 (5 марта, чт)
1) Собственные векторы и собственные значения. Диагонализируемость.
ДЗ:
1) 40.1 (б,в,д), 40.2, 40.3, 40.15 (а,в,д,е), 40.6, 40.16 (б)
Занятие №8 (12 марта, чт)
Инвариантные подпространства.
ДЗ: 40.22, 40.23, 40.24, 40.7, 40.27, 40.29, 40.30
Занятие №9 (16 марта)
ЖНФ.
ДЗ:
41.1 (б,ж,е, г, и, л), 41.3 (б), 41.5
Занятие №10 (19 марта)
1) Подобные матрицы.
2) Корневые подпространства.
ДЗ:
1) 41.8, 41.9
2) №40.35 а,б,в, 40.38
Занятие №11 (23 марта, пн)
1) Жорданов базис.
ДЗ:
1) №41.10 а,б,г
Занятие №12 (26 марта, чт)
0) функции от матриц
1) Аннулирующие и минимальные многочлены.
ДЗ:
0) 41.22, 42.19д
1) 41.27(б), 41.30, 41.32
Темы задач на КР №1
1) Определение векторного пространства и подпространства. Линейная зависимость векторов. Базис. Координаты вектора.
2) Базис и размерность суммы и пересечения подпространств. Прямая сумма. Проекция вектора на подпространство.
3) Определение линейной функции. Координатная запись.
4) Сопряженное пространство. Нахождение сопряженного базиса.
5) Определение линейного оператора. Ядро и образ. Матрица линейного оператора. Ее изменения при переходе к другому базису.
6) Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Диагонализируемость.
7) ЖНФ. Жорданов базис. Минимальный многочлен.
Занятие №13 (30 марта)
КР
Занятие №14 (1 апреля)
Дополнительный семинар в 16:45 в ауд 425
1) Билинейные функции. Преобразование матрицы билинейной функции при переходе к другому базису. Ранг и ядро билинейной функции. Невырожденные билинейные функции. Определение симметрических и кососимметрических билинейных функций.
ДЗ: 1) № 37.1+38.1 д, е, м, п, р, 37.6 а, 37.8 б, 37.12 б, 38.3
Задача: а) Доказать, что для симметрической и кососимметрической билинейной функции левое ядро совпадает с правым. б) Привести пример билинейной функции в n-мерном пространстве, которая не является ни симметрической, ни кососимметрической, но для которой левое ядро совпадает с правым.
Занятие №15 (2 апреля, чт)
1) Нормальный вид квадратичной формы. Метод Лагранжа. Положительная и отрицательная определенность. Критерий Сильвестра.
2) Метод Якоби
ДЗ: 1) № 38.15 а, б, 38.11 (б,в), 38.14 (а,б), 38.18 (б,в,г,з), 38.17 (б), 38.19 (б), 38.22 (а)
2) 38.8 б (перенумеровать базис)
Занятие №16 (6 апреля, пн)
1) Евклидово пространство. Длина вектора. Косинус угла между векторами. Неравенство Коши-Буняковского. Ортонормированный базис
2) Ортогонализация Грама-Шмидта
ДЗ: 1) 43.28 (а), 43.39, 43.40
2) 43.7 (а), 43.15 (а),