Кафедра высшей алгебры

Лекции по алгебре 2 курс 2 поток

Лектор С.А. Гайфуллин

Для 209, 210, 211 и 212 групп консультация будет 3 января в 17:00 по ссылке https://us02web.zoom.us/j/89006712305

Для 207 и 208 групп консультация пройдёт 19 января в 17:00 по ссылке https://us02web.zoom.us/j/81758374731

Программа коллоквиума со ссылками на конспект

Полугруппа, группа, абелева группа. Простые следствия из аксиом. Подгруппа. Проверка того, что подмножество группы – подгруппа. Мультипликативные и аддитивные обозначения. Порядок элемента. Порядок степени элемента. Таблица операции. Примеры групп.

Лекция 2. (7 сентября)

Гомоморфизмы. Изоморфизмы. Примеры изоморфизмов. Группа диэдра. Группа кватернионов. Автоморфизмы. Группа автоморфизмов данной группы и подгруппа внутренних автоморфизмов. Циклические группы, циклическая подгруппа, порождённая данным элементом, изоморфизм циклических групп одного порядка, подгруппы циклической группы.

Лекции 3. (14 сентября)

Группа автоморфизмов циклической группы. Смежные классы и их свойства. Теорема Лагранжа. Следствия из теоремы Лагранжа. Теорема Коши. Нормальные подгруппы. Факторгруппа. Теорема о гомоморфизме (формулировка).

Лекциия 4. (16 сентября)

Канонический гомоморфизм. Порождающие группы. Теорема о гомоморфизме. Примеры вычисления факторгрупп. 2-я и 3-я теоремы о гомоморфизме.

Лекциия 5. (21 сентября)

Центр. Факторгруппа по центру. Нецикличность факторгруппы по центру. Свободная группа. Универсальное свойство свободной группы. Нормальное замыкание множества. Задание групп образующими и соотношениями.

Лекциия 6. (28 сентября)

Проблема равенства слов в свободной группе. Внешнее и внутреннее прямое призведение групп. Теорема о факторизации прямого произведения. Критерий инъективности гомоморфизма. Китайская теорема об остатках.

Лекциия 7. (30 сентября)

Свободная абелева группа. Ранг свободной абелевой группы. Подгруппа свободной абелевой группы. Приведение целочисленной матрицы допустимыми элеменнатрными преобразованиями к диагональному виду. Теорема о согласованных базисах. Конечнопорождённые абелевы группы как прямая сумма циклических.

Лекция 8. (5 октября)

Теорема о строении конечно порождённых абелевых групп (существование и единственность разложения на бесконечные циклические и примарные циклические). Экспонента группы. Критерий цикличности конечной абелевой группы.

Лекция 9. (12 октября)

Цикличность конечной подгруппы мультипликативной группы поля. Действие группы на множестве. Эквивалентность действий и гомоморфизмов в группу симметрий множества. Орбиты и стабилизаторы. Теорема Кэли. Биекция между элементами орбиты и смежными классами по стабилизатору. Связь между порядком группы и порядками орбиты и стабилизатора. Подсчёт количества элементов в группе вращений куба.

Лекция 10. (14 октября)

Ядро неэффективности действия. Сведение действия к эффективному действию факторгруппы. Определения транзитивного и свободного действия. Изоморфизм действий. Классификация свободных транзитивных действий. Классы сопряжённости и централизаторы. Связь с нормальными подгруппами. Нетривиальность центра p-группы. Абелевость группы из p^2 элементов. Изоморфизм группы вращения куба и S_4. Изоморфизм группы симметрий тетраэдра и S_4.

Лекция 11. (22 октября)

Коммутаторы, коммутанты, факторгруппа по коммутанту, характеризация Коммутанта как минимальной подгруппы, фактор по которой абелев. Коммутанты групп S_n, A_n, SL_n и GL_n. Характеристические подгруппы, транзитивность свойства характеристичности, характеристичность коммутанта и центра.

Видеозапись лекции https://youtu.be/y_IG6FFCp8A

Слайды лекции 11.

Лекция 12. (27 октября)

Кратные коммутанты, разрешимые группы. Разрешимость подгруппы и факторгруппы разрешимой группы. Критерий разрешимости. Разрешимость S_n и A_n при n<5 и неразрешимость при n>4. Разрешимость группы невырожденных верхнетреугольных матриц, простые группы. Классификация простых абелевых групп. Простота группы A_5.

Видеозапись лекции https://youtu.be/Xk5hSOVds30

Слайды лекции 12.

Лекция 13. (28 октября)

Простота группы SO(3). Первая и вторая теоремы Силова. Формулировка третьей теоремы Силова.

Видеозапись лекции https://youtu.be/Wf2Y7i9fLMQ

Слайды лекции 13.

Лекция 14. (10 ноября)

Третья теорема Силова. Разрешимость групп порядка pq, разрешимость p-групп, разрешимость групп порядка p^2q.Полупрямое произведение (внешнее и внутреннее). Классификация групп порядка pq.

Видеозапись лекции https://youtu.be/dqFwjNCDE1g

Слайды лекции 14.

Лекция 15. (11 ноября)

Композиционный ряд. Теорема Жордана-Гёльдера (формулировка). Линейные и матричные представления. Связь между ними. Индуцированное представление. Морфизмы представлений, изоморфизм представлений. Одномерные представления абелевых групп. Мономиальное представление S_n. Групповая алгебра. Регулярное представление. Инвариантные подпространства, неприводимые представления. Прямая сумма представлений. Вполне приводимые представления. Дополнительное инвариантное подпространство. Если к каждому инвариантному подпространству есть дополнительное, то представление вполне приводимо.

Видеозапись лекции https://youtu.be/fN4M5YPEN2w

Слайды лекция 15.

Лекция 16. (18 ноября)

Биекция одномерных представлений группы и ее фактора по коммутанту. Теорема Машке. Примеры отсутствия вполне приводимости при невыполнении условий теоремы Машке. Лемма Шура.

Видеозапись лекции https://youtu.be/Yn_p2PCaBms

Слайды лекции 16.

Лекция 17. (24 ноября)

Лемма Шура. Следствия из неё, усреднённое отображение между пространствами представлений. Билинейная форма на функциях на группе. Ортогональность матричных элементов представлений. Характер представления. Свойства характера. Полуторалинейная эрмитова форма на комплексных функциях на группе. Положительная определённость полуторалинейной формы на пространстве центральных функций. Совпадение полуторалинейной и билинейной форм на характерах конечной группы. Свойство ортогональности характеров. Кратность вхождения неприводимого представления в данное. Связь с характерами.

Видеозапись лекции https://youtu.be/JsQnwRVDj-U

Слайды лекция 17.

Лекция 18. (25 ноября)

Характеры образуют базис пространства центральных функций. Кратность вхождения неприводимого комплексного представления в регулярное. Сумма квадратов размерностей неприводимых комплексных представлений. Явное описание представлений S_3 и S_4.

Видеозапись лекции https://youtu.be/jKcNG8Oy1Kg

Слайды лекция 18.