Преподаватель: Д.А.Тимашёв
Лекции читаются по средам на 1-й паре (9:00-10:35) а ауд. 14-15.
Семинары проходят по пятницам на 2-й паре (10:45-12:20) а ауд. 15-03.
Группы Ли (вещественные и комплексные): определение и простейшие примеры. Прямое произведение групп Ли. Подгруппы Ли, их задание уравнениями. Пример: O_n ⊂ GL_n. Подгруппа в группе Ли, являющаяся подмногообразием в окрестности единицы, есть подгруппа Ли. Замкнутость подгрупп Ли в объемлющей группе Ли.
Если на многообразии с групповой структурой умножение дифференцируемо, то и инверсия дифференцируема. Примеры групп Ли: симплектическая и унитарная группы, U_n(C) = GL_n(C) ∩ O_{2n}(R) ∩ Sp_{2n}(R).
Компоненты связности группы Ли, связная компонента единицы и группа компонент. Пример: компоненты связности группы O_n(R). Связная группа Ли порождается (как абстрактная группа) любой окрестностью единицы.
Основные понятия дифференциального исчисления на многообразиях (напоминание): касательные векторы и касательные пространства, дифференциалы отображений, векторные поля. Дифференциальные уравнения (автономные, 1-го порядка) на многообразиях, фазовые кривые и фазовые потоки.
Кватернионная унитарная группа. Связность группы Ли GL_n(C) и связные компоненты группы Ли GL_n(R). Связность группы Ли Sp_{2n} (начало решения).
Действие диффеоморфизмов на дифференциально-геометрические объекты на многообразии (функции, векторные поля, и т.п.). Производная Ли вдоль векторного поля. Коммутатор векторных полей. Правоинвариантные векторные поля и алгебра Ли группы Ли G. Структура алгебры Ли на касательном пространстве в единице, пример: G = GL_n.
Фазовые потоки правоинвариантных векторных полей и однопараметрические подгруппы в группах Ли. Экспоненциальное отображение, его свойства. Экспоненциальные координаты на группе Ли в окрестности единицы, одновременная линеаризация всех подгрупп Ли в этих координатах. Связная подгруппа Ли восстанавливается по своей касательной алгебре Ли. Пересечение подгрупп Ли — подгруппа Ли, её касательная алгебра Ли — пересечение алгебр Ли этих подгрупп.
Связность группы Ли Sp_{2n} и связные компоненты группы Ли O_{p,q}(R). Вычисление касательных алгебр Ли.
Вычисление правоинваривнтных векторных полей и экспоненциального отображения на группе Ли. Вычисление дифференциала экспоненциального отображения в произвольной точке (не доведено до конца).
Гомоморфизмы групп Ли. Дифференциал гомоморфизма групп Ли (в единице) — гомоморфизм алгебр Ли. Функтор Ли. Связь гомоморфизма групп Ли с его дифференциалом через экспоненциальное отображение (формула φ • exp = exp • dφ), линеаризация гомоморфизмов групп Ли в экспоненциальных координатах, восстановление гомоморфизма связной группы Ли по его дифференциалу. Ядро и образ гомоморфизма групп Ли, их размерности и касательные алгебры Ли. Плотная обмотка тора. Прообраз подгруппы Ли при гомоморфизме, его касательная алгебра Ли. Линейные представления групп Ли и их дифференциалы — линейные представления алгебр Ли. Присоединённое представление.
Свойства экспоненциалльного отображения (инъективность, сюръективность, диффеоморфность) для GL_n(C) и SL_2(R).
Дифференциал присоединённого представления группы Ли есть присоединённое представление её касательной алгебры Ли. Формула Ad • exp = exp • ad. Если элементы алгебры Ли коммутируют, то их экспоненты коммутируют. Связь между линейным представлением группы Ли и его дифференциалом — линейным представлением алгебры Ли: инвариантные подпространства, подпредставления и факторпредставления, приводимость, неприводимость, полная приводимость. Сопряжённое представление, прямая сумма и тензорное произведение линейных представлений групп Ли, их дифференциалы — соответствующие конструкции над линейными представлениями алгебр Ли.
Структура экспоненциалльного отображения и однопараметрических подгрупп для SL_2(R). Теорема Картана о замкнутых подгруппах групп Ли.
Действия групп Ли на многообразиях, орбитные отображения, поля скоростей. Свойства орбит и стабилизаторов. Стабилизатор вектора в линейном представлении группы Ли, его касательная алгебра Ли.
Завершение доказательства теоремы Картана. Разложение присоединённого представления группы Ли GL_n на неприводимые слагаемые.
Группа Ли автоморфизмов и алгебра Ли дифференцирований конечномерной алгебры. Представление изотропии. Транзитивные действия групп Ли и однородные многообразия. Орбитное отображение группы Ли на однородное многообразие является локально тривиальным расслоением.
Однородное многообразие группы Ли однозначно определяется стабилизатором базисной точки. Структура однородного многообразия на множестве левых смежных классов G/H группы Ли G по подгруппе Ли H. Представление изотропии на однородном многообразии, связь с присоединённым представлением. Нормальные подгруппы Ли и идеалы в касательной алгебре Ли. Структура группы Ли на факторгруппе G/H группы Ли G по нормальной подгруппе Ли H.
Двулистное накрытие U_2(H) → SO_5(R). Автоморфизмы алгебры Гейзенберга. Нормализатор подпространства в линейном представлении группы Ли и нормализатор связной подгруппы Ли, их касательные алгебры Ли. Многообразие Грассмана.
Касательная алгебра Ли факторгруппы Ли. Основная теорема о гомоморфизмах для групп Ли.
Фундаментальная группа, односвязные многообразия, универсальное накрытие (напоминания). Универсальная накрываюшая и фундаментальная группа связной группы Ли. Описание связных групп Ли как факторгрупп односвязных групп Ли по дискретным центральным подгруппам.
Классификация связных коммутативных групп Ли. Экспонента суммы коммутирующих элементов алгебры Ли равна произведению экспонент слагаемых.
Годограф скорости движения точки по кривой на группе Ли. Существование и единственность кривой с заданным годографом скорости, проходящей через заданную точку в начальный момент времени.
Деформация кривой на группе Ли, дифференциальное уравнение деформации.
Интегрирование гомоморфизмов касательных алгебр Ли: существование и единственность гомоморфизма односвязной группы Ли с заданным дифференциалом. Единственность односвязной группы Ли с заданной касательной алгеброй Ли.
Вторая гомотопическая группа. Точная гомотопическая последовательность расслоения группы Ли над однородным многообразием. Вычисление фундаментальной группы у GL_n(C).
Центр и коммутант связной группы Ли и её касательной алгебры Ли, связь между ними. Пример: коммутант группы GL_n. Разрешимые группы Ли и алгебры Ли, эквивалентность разрешимости связной группы Ли и её касательной алгебры Ли. Пример: разрешимость группы верхнетреугольных матриц.
Теоремы Ли и Энгеля, их следствия: запись комплексных линейных представлений связных разрешимых групп Ли и разрешимых алгебр Ли треугольными матрицами, одномерность неприводимых представлений.
Вычисление фундаментальной группы у SO_n(R). Спинорная группа. Односвязная накрывающая группы Ли SL_2(R) не является линейной группой Ли.
Полупростые алгебры Ли и группы Ли. Инвариантные скалярные умножения на алгебрах Ли, примеры: стандартное скалярное умножение на линейной алгебре Ли, форма Киллинга. Критерий разрешимости и необходимое условие полупростоты линейной алгебры Ли в терминах стандартного скалярного умножения. Критерий Картана разрешимости и полупростоты алгебры Ли в терминах формы Киллинга.
Структура полупростых алгебр Ли: разложение в прямую сумму простых идеалов. Теорема Вейля о полной приводимости линейных представлений полупростых алгебр Ли. Все дифференцирования полупростых алгебр Ли являются внутренними. Всякая полупростая алгебра Ли является касательной алгеброй Ли некоторой полупростой группы Ли.
Spin_6(R) ≅ SU_4(C). Простота алгебры Ли sl_n. Вычисление формы Киллинга для алгебры Ли gl_n.
Теория представлений группы Ли SL_n и алгебры Ли sl_n, классификация неприводимых представлений.