Преподаватель: Д.А.Тимашёв
Семинары проходят по понедельникам еженедельно на 3-й паре (13:15-14:50) в ауд. 16-13 и по пятницам на каждой нечётной неделе на 1-й паре (9:00-10:45) в ауд. 12-08.
Объявление: на неделе с 11 по 17 мая занятий не будет.
Классификация одномерных алгебр и двумерных алгебр с единицей над $\mathbb{C}$. Присоединение единицы к ассоциативному кольцу или алгебре. Алгебра формальных степенных рядов и кольцо целых $p$-адических чисел. Обратимые и необратимые элементы в кольцах и алгебрах, пример: произведение двух необратимых элементов равно $1$. Локальные кольца.
Классификация идеалов в двумерной алгебре с единицей. Идеалы в алгебре $C(X)$ непрерывных функций на топологическом пространстве $X$, описание максимальных идеалов в случае компактного $X$. Простые кольца и алгебры. Алгебра Вейля.
Простые модули. Кольцо многочленов как модуль над алгеброй Вейля, его простота. Композиционный ряд, модули конечной длины, теорема Жордана–Гёльдера. Полупростые модули. Разложение модуля конечной длины в прямую сумму неразложимых подмодулей, теорема Крулля–Ремака–Шмидта.
Тензорное произведение модулей, примеры: $\mathbb{Q}\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}$, $A/I\otimes_AM$, $A/I\otimes_AA/J$, в частности, $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$.
Тензорное произведение векторных пространств, применение: произведение Адамара положительно определённых матриц положительно определено. Пространство линейных отображений в тензорной интерпретации, тензорное произведение линейных отображений. Тензорное произведение алгебр, пример: $\mathbb{C}\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C}$.
Модули гомоморфизмов. Существование точного конечномерного представления у конечномерной ассоциативной алгебры. Запись линейного представления нильпотентной алгебры нильтреугольными матрицами, её неприводимые представления. Стандартное скалярное умножение на алгебре матриц. Контрпример к совпадению радикала с ядром стандартного скалярного умножения в положительной характеристике. Стандартное скалярное умножение на алгебре $K[x]/K[x]f$ и дискриминант многочлена $f$.
Прямая сумма и тензорное произведение полупростых алгебр. Центральные простые алгебры и алгебры с делением, их тензорное произведение. Группа Брауэра. Обобщённые кватернионы.
Представление в пространстве функций на множестве с действием группы: задание матрицами на инвариантном подпространстве. Нахождение инвариантных подпространств и доказательство неприводимости линейного представления. Разложение вполне приводимого представления в прямую сумму неприводимых представлений.
Описание одномерных комплексных представлений конечных групп, пример: $S_3 \times D_5$. Количество и размерности неприводимых представлений конечной группы. Описание всех неприводимых комплексных представлений группы $D_n$. Существует ли конечная группа с заданным набором размерностей неприводимых представлений?
Групповые алгебры конечных групп, их структура. Групповая алгебра над полем характеристики, делящей порядок группы, не полупроста. Групповая алгебра группы порядка $>1$ не проста. Разложение групповой алгебры в прямую сумму простых идеалов, пример: $\mathbb{C} S_3$.
Характеры линейных представлений, их свойства. Является ли заданная функция на группе $Q_8$ характером некоторого линейного представления? Разложение тензорного произведения неприводимых представлений группы $D_n$ на неприводимые слагаемые. Модельная задача на применение теории представлений: в вершинах куба записаны 8 чисел; за один шаг число в каждой вершине заменяется на среднее арифметическое чисел в соседних вершинах; как примерно будет выглядеть распределение чисел в вершинах через много шагов?
Симплектическая группа Ли. Связность групп Ли $GL_n(\mathbb{C})$ и $SL_n$. Структура группы Ли $SO_2(\mathbb{C})$. Компоненты связности группы Ли $O_n(\mathbb{C})$.
Компоненты связности группы Ли $O_{p,q}(\mathbb{R})$. Группа Гейзенберга. Вычисление экспоненциального отображения. Представления аддитивной группы Ли поля $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$.
Линейные представления группы Ли $SL_2$ и алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$: характеры, формула Клебша-Гордана.